Задача: Прямая отсекает от соседних сторон параллелограмма одну треть и одну четверть этих сторон, считая от общей вершины. Какую часть отсекает эта прямая от диагонали параллелограмма, выходящей из этой вершины?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть P - точка пересечения прямой MK и прямой BC. Треугольники △AMK ~ △BMP, поскольку образуют стандартное положение "песочные часы" ⇒ BP/AK = BM/AM; BP/y = 2x/x ⇒ BP = 2y (см рисунок)
Рассмотрим △ABC: по теореме Менелая BM/AM * AN/NC * CP/BP = 1 ⇒
2x/x * AN/NC * 6y/2y = 1
AN/NC * 6 = 1
AN/NC = 1/6
Поскольку AN/NC = 1/6, то NC = 6AC ⇒ AN : AC = AN : (AN + NC) = AN : (AN + 6 AN) = AN : 7AN = 1 : 7.
Ответ: 1 : 7.
Задача решена.