Задача: Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. На прямой AC взяли точку N так, что точка C — середина отрезка AN. В каком отношении прямая MN делит стороны AB и BC треугольника? ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Проведём медиану BP. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины ⇒ MP/BM = 1/2. Пусть AP = x, тогда CP = 2x и CN = 2x (см рисунок) Рассмотрим △ABP: по теореме Менелая MP/BM * BL/AL * AN/PN = 1 ⇒ 1/2 * BL/AL * 4x/3x =1 BL/AL * 2/3 = 1 BL/AL = 3/2 ⇒ AL : BL = 2 : 3. Рассмотрим △CBP: по теореме Менелая CK/BK * BM/MP * PM/CN = 1 ⇒ CK/BK * 2 * 3/2 = 1 CK/BK * 3 = 1 CK/BK = 1/3 ⇒ BK : CK = 3 : 1. Ответ: 2 : 3; 3 : 1. Задача решена.
Задача: Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. На прямой AC взяли точку N так, что точка C — середина отрезка AN. В каком отношении прямая MN делит стороны AB и BC треугольника?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём медиану BP. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины ⇒ MP/BM = 1/2. Пусть AP = x, тогда CP = 2x и CN = 2x (см рисунок)
Рассмотрим △ABP: по теореме Менелая MP/BM * BL/AL * AN/PN = 1 ⇒
1/2 * BL/AL * 4x/3x =1
BL/AL * 2/3 = 1
BL/AL = 3/2
⇒ AL : BL = 2 : 3.
Рассмотрим △CBP: по теореме Менелая CK/BK * BM/MP * PM/CN = 1 ⇒
CK/BK * 2 * 3/2 = 1
CK/BK * 3 = 1
CK/BK = 1/3
⇒ BK : CK = 3 : 1.
Ответ: 2 : 3; 3 : 1.
Задача решена.