Задача: Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках M, N и K соответственно. Прямая MN пересекает прямую AC в точке P, при этом PC = AC. В каком отношении точка K делит сторону AC?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме об отрезках касательных AK = AM; KC = CN; BM = BN. По теореме Менелая CN/BN * BM/AM * AP/CP = 1 ⇒
CN/AM * AP/CP = 1| (CN/AM = CK/AK)
CK/AK * (AC + CP)/CP = 1 | (AP = AP + CP = 2CP, так как AC = CP)
CK/AK = CP/2CP
CK/AK = 1/2
⇒ AK : CK = 2 : 1.
Ответ: 2 : 1.
Задача решена.
