Задача: В ромб вписали окружность. Найдите площадь четырёхугольника, образованного точками её касания со сторонами ромба, если диагонали ромба равны а и b.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть AC = a, BD = b. По теореме об отрезках касательных BM = BN ⇒ △MBN - равнобедренный. Поскольку диагонали робма - биссектрисы его углов, то в △MBN по св-у р/б треугольника BD⟂MN. Также по св-у ромба его диагонали перпендикулярны, то есть AC⟂BD ⇒ MN∥AC. Аналогично KL∥AC, ML∥BD и NK∥BD ⇒ MN∥KL и ML∥NK.
Поскольку MN∥AC и ML∥NK, то четырёхугольник MNKL - параллелограмм по определению. Рассмотрим параллелограмм MNKL: поскольку MN∥AC и ML⟂AC, то MN⟂ML ⇒ ∠NML - прямой ⇒ MNKL - прямоугольник.
Проведём радиус ON. Рассмотрим прямоугольные треугольники △BOC и △BNO:
- ∠OBC - общий
⇒ △BOC ~ △BNO по I признаку подобия треугольников ⇒ BN/BO = BO/BC; BN = (BO^2)/BC. По св-у ромба диагонали точкой пересечения делятся пополам ⇒ BO = OD = b/2 и AO = OC = a/2 ⇒ BN = ((b/2)^2)/BC = (b^2)/4BC.
Рассмотрим прямоугольные треугольники △BOC и △ONC:
- ∠BCO - общий
⇒ △BOC ~ △ONC по I признаку подобия треугольников ⇒ CN/OC = OC/BC; CN = (OC^2)/BC = ((a/2)^2)/BC = (a^2)/4BC.
Итак, BN = (b^2)/4BC и CN = (a^2)/4BC, тогда BN/CN = (b^2)/(a^2) ⇒ BN/BC = (b^2)/(a^2 + b^2) и CN/BC = (a^2)/(a^2 + b^2).
△ABC ~ △MBN поскольку образуют стандартное положение "пирамида" ⇒
MN/AC = BN/BC; MN = AC*BN/BC = (a*b^2)/(a^2 + b^2). Так же △BCD ~ △NCK поскольку образуют стандартное положение "пирамида" ⇒ NK/BD = CN/BC; NK = BD * CN/BC = (a^2 * b)/(a^2 + b^2).
SMNKL = MN * NK = (a*b^2)/(a^2 + b^2) * (a^2 * b)/(a^2 + b^2) = ((ab)^3)/((a^2 + b^2)^2).
Ответ: ((ab)^3)/((a^2 + b^2)^2).
Задача решена.