Треугольник Паскаля заполняется по следующему принципу. В вершине этого треугольника, или в нулевой строке, стоит единица. По бокам с каждой стороны тоже везде стоят единицы. В частности, поэтому в первой строке находятся две единицы. А дальше, каждый элемент внутри каждой следующей строки является суммой двух чисел, которые стоят строкой выше слева и справа от него. Вот так выглядит треугольник Паскаля:
Этот треугольник помогает при некоторых вычислениях, а также обладает множеством интересных свойств. В этой статье мы докажем одно из них. Дело в том, что сумма чисел в n-ой строке треугольника Паскаля равна 2 в степени n. Ну действительно, вы можете убедиться в этом сами:
Почему же так происходит? Чтобы это доказать, рассмотрим две какие-то последовательные строки треугольника:
Из записанного видно, что в каждой следующей строке каждый из элементов предыдущей строки встречается дважды, а это значит, что сумма всех элементов в строке каждый раз удваивается при переходе от любой строки к следующей. Поэтому и получается, что сумма в n-ой строке равна 2 в степени n, где n = 0, 1, 2, ... Что и требовалось доказать.
Запись на индивидуальные занятия с репетитором по математике и физике: https://yourtutor.info/
