Задача: Окружности с радиусами 1 и 4 вписаны в один угол и касаются друг друга. Найдите расстояние между точками касания большей из этих окружностей со сторонами угла.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
(Решение с использованием теоремы косинусов)
Поскольку обе окружности вписаны в один тот же угол, то центры окружностей лежат на биссектрисе данного угла. Проведём радиусы OD, O1B и O1C в точки касания со сторонами угла (см рисунок)
Рассмотрим прямоугольные треугольники △ADO и △ACO1:
- ∠O1AC - общий
⇒ △ADO ~ △ACO1 по I признаку подобия треугольников ⇒
AO/AO1 = OD/O1C
AO/(AO + 5) = 1/4
4AO = AO + 5
AO = 5/3
AO1 = AO + OO1 = 5/3 + 5 = 20/3. В прямоуг. △ACO1: cos(∠AO1C) = O1C/AO1 = 4/(20/3) = 12/20 = 0,6.
Поскольку △ABO1 = △ACO1 по гипотенузе и катету, то ∠AO1B = ∠AO1C ⇒ ∠BO1C = 2 * ∠AO1C, тогда cos(∠BO1C) = 2cos^2 (∠AO1C) - 1 = 2 * (0,6)^2 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28.
В △BO1C по теореме косинусов: BC = √(4^2 + 4^2 - 2 * 4 * 4 * (-0.28)) = √(32 + 32 * 0,28) = √(32 + 8,96) = √40,96 = 6,4.
Ответ: 6,4.
Задача решена.
