Если кратко, то потому же, почему и карапуз 9 дней отроду.
А теперь чуть подробнее. Школьные знания (умения, компетенции - называйте, как хотите) бывают попроще, бывают посложнее. И считается, что сначала дети должны учить, что попроще, потом переходят к более сложному. Золотой принцип "от простого к сложному". И это как бы правильно, но вот вопрос: что считать простым, а что сложным?
Например, сложение - оно простое? Сложение в каком классе можно проходить? В первом? А если это сложение дробей, многочленов или вообще кватернионов?
Для нас важен максимальный уровень абстракции в той задаче, с которой работает ребёнок. Если это сложение натуральных чисел, то уровень абстракции тут минимален, дроби - уже более высокий уровень абстракции, многочлены и кватернионы - ещё выше. В нашем примере, каким бы ни был уровень абстракции, есть некий алгоритм сложения, который всегда сводится к сложению натуральных чисел. То есть, за счёт алгоритма можно понизить уровень абстракции и не заморачиваться с пониманием. Именно так и поступают программисты, когда пишут библиотеку, складывающую кватернионы или дроби.
Точно так же можно понизить практически любую абстрактную вещь до примитивнейших действий, и достаточно научиться выполнять эти примитивнейшие действия, и выучить все алгоритмы. Вопрос только в разветвлённости и длине этого алгоритма.
С этой точки зрения, мы вполне можем научить складывать и умножать кватернионы какого-нибудь второклассника. И это будет даже легче, чем научить его складывать дроби, ибо алгоритм примитивнее - не надо искать никакие НОКи.
А теперь обратимся немного к физиологии. Думаю, всем очевидно, что уровень абстракции, которым может оперировать ребёнок сначала очень низкий, а потом постепенно растёт. И ребёнок 9 дней отроду _понимает_ куда меньше, чем ребёнок 9 лет. Есть вот какая особенность: если человеческий детёныш не дорос до какого-то уровня абстракции, то это понятие он не сможет осознать никак, не сможет с ним работать. Никакими ухищрениями нельзя добиться понимания в такой ситуации. Но.
Можно понизить уровень абстракции, просто предоставив ученику алгоритм. Получится, что ребёнок работает не с абстрактным понятием, а с алгоритмом, который содержит вполне доступные ему шаги. Внешне это очень похоже на то, что делает человек, который работает с самим понятием, те же самые шаги.
Элементарный пример: умножение (школьное). Есть несколько абстрактное определение умножения. Абстрактность в том, что при умножении двух чисел, мы одно число должны рассматривать как количество предметов в ряду, а другое - как количество рядов. Здесь нет ничего сложного, с этим прекрасно справляются второклассники. А есть очень чёткий алгоритм умножения столбиком, для реализации которого даже не нужно понимать, что значат числа, а просто подставлять результаты из таблицы умножения и выполнять сложения. И если в подставлении чисел нет абстракции вообще никакой (просто иди по таблице, как встретишь нужную пару знаков, пиши третий знак - куда уж меньше абстракции?), то сложение тоже абстрактная операция. И знаете, что? Многие учителя умудряются понизить уровень абстракции и для сложения. За счёт таблицы сложения. СЛОЖЕНИЯ ТАБЛИЦА, Карл! Простите.
Именно так и поступает мозг ребёнка, когда мы его начинаем пичкать абстракцией не по возрасту. Он пропускает мимо себя любые, самые "пальчиковые" объяснения - их всё равно не понять, и пытается вычленить алгоритм с понятными шагами. Он как бы говорит: "Мне ни к чему ваши теоремы и определения! скажите мне, какую цифру, куда я должен написать, чтобы ответ сошёлся!" Кстати, определения и теоремы он может выучить наизусть, а вторую часть фразы прямо устно произнести. Примерно так "Квадрат пифагора равен сумме квадратов гипотенузы, а здесь вот такое писать?" Оттого дети и не читают теорию в учебнике, а пытаются по примерам восстановить алгоритм.
И смотрите, как хорошо всё ложится теперь:
У нас есть всякие Алисы Тепляковы и куча людей, с пеной у рта доказывающих, что они в начальной школе щёлкали уравнения, как орешки. У них просто были низкоуровневые алгоритмы. Они не уравнения решали, они буквы переставляли, даже не догадываясь (не будучи в состоянии предположить), что там что-то ещё есть, кроме этих "иксов налево". Внешне выглядит, как будто человек решает, а на деле...
Сразу становится понятно, что такое "Что-то таинственное" начинает происходить в пятом классе: алгоритмы, понижающие абстракцию, становятся слишком длинными, их становится слишком много. Появляются вещи, которые вообще в алгоритмы проблемно обернуть (геометрия). А уровень абстракции самого ребёнка не растёт - его старательно отучали от этого предыдущие 4 года.
Почему программа Петерсон или ментальная арифметика одним заходит на "ура", а другим поперёк горла встаёт: первые могут смириться с алгоритмами, и не задаваться сложными вопросами, вторые - нет (есть ещё третья категория, у которых абстрактное мышление развивается вопреки этим алгоритмам).
Тут же вырисовываются два типа школолольников - "звёздочки", которые всё хотят, всё умеют, им всё легко даётся, и "обычные", которые хорошо, если ОГЭ сдадут со первого раза. Первые работают с абстракциями, а вторые с алгоритмами. Здесь в полной мере работает поговорка, мол, сытый голодного не разумеет. В том смысле, что эти две категории людей принципиально не понимают друг друга. "Звёздочкам" кажется, как тут можно что-то не понять, ибо ответ на поверхности лежит, а остальные не способны подняться на более высокий уровень абстракции, и даже представить, что там что-то находится. В принципе, если такой человек - "звёздочка" целенаправленно остановится, задумается, то сможет увидеть, как его мозг обрабатывает абстракцию, как сложные вещи разделяются на простые, как создаются (не вспоминаются, а именно создаются) понижающие абстракцию алгоритмы, как они выполняются, как результат интерпретируется в форме высокой абстракции. И в этот момент можно понять, что "обычные" люди не понимают. А если очень постараться, то даже придумать способ заставить понять. Вот таких бы в учителей, чтобы все стали "звёздочками". Но нет, учителя на 99% "обычные" алгоритмозависимые, и на 1% из "звёздочки", которые не пытаются остановиться. Поэтому они от детей либо требуют алгоритмов ("пиши, думать будешь потом!"), либо пытаются требовать думания, но, потерпев неудачу, скатываются в требование "хотя бы" алгоритмов.
И школьная программа [по математике] приобретает несколько иной смысл.
Заучивание таблиц умножения и сложения мы уже разобрали - это способ понизить уровень абстракции, чтобы дитятко не напрягало свою думалку, и училось бездумно выполнять приказы. А поскольку так или иначе все алгоритмы понижаются до умножения и сложения, то возникают учителя, считающие, что таблица умножения - основа математики.
Уравнения. Уровень абстракции в уравнении - во-первых, величина, во-вторых, неизвестная. Этот уровень абстракции доступен класса с 6-7 (12-13 лет). По сути, нет разницы между линейным уравнением и дробно-рациональным. И там, и там 4 действия арифметики, и там, и там - неизвестная величина. Но линейные уравнения проходят в начальной школе. Почему? Потому что можно понизить уровень абстракции до "это переносим туда, это - сюда". То есть, ребёнок всего лишь переставляет "иксы" слева направо и справа налево. А это уровень детского сада. А алгоритмы для других типов уравнений включают в себя более сложные действия (корень), и/или ветвление.
Десятичные дроби. Их часто проходят вперёд обыкновенных. Следуя правилу "от простого к сложному", разумеется. Потому что в десятичных дробях алгоритмы проще запомнить. Вернее, они уже запомнены (это всеми любимые столбики же), их надо просто слегка модифицировать. И опять думалку включать не надо, достаточно писать из таблицы и следить за "запятой".
Формальная логика и множества. Это очень интересная попытка снизить уровень абстракции так, чтобы без понимания работать с речевыми структурами. Алгоритм записи речевых структур и ответов на них весьма хитрый, но... простой. Опять мы, не включая думалку, можем записать слово символом, потом символ заменить другим, и, наконец, другой символ превратить обратно в слово (строим отрицание по петерсон: "Все деревья имеют корни" -> "Ɐ деревья имеют корни" -> "ⱻ деревья ⌐ имеют корни" -> "Существуют деревья не имеют корни"). Лёгким движением руки, сложнейшая задача интерпретации слов как понятий превращается... превращается... в элементарный алгоритм, простите, маленькая техническая неувязка.
"Что делать?"
А ничего не нужно делать. Мы ребёнку на вход можем давать высокую абстракцию, он внутри будет обрабатывать её на низком уровне, а потом выдавать нам опять выскоуровневый результат. Не всё ли равно, если результат правильный? В общем-то, на данный момент дела обстоят так, что 94-96% людей так живут, и не сильно страдают (или не понимают, что страдают?). Чтобы нормально выживать в условиях современного мегаполиса, достаточно абстракций уровня детского сада. А если натренировать хорошую память и абстрактное мышление на уровне 1-2 класса начальной школы, то можно поступить в МГУ (что мы и наблюдали, кстати).
Такие аргументы очень трудно крыть чем-то. Да я и не собираюсь. Хотите, чтобы ваш ребёнок выглядел "умным" - пожалуйста. Понижайте абстракцию и тренируйте память на алгоритмы. Ментальная арифметика ("механическая" память) и Петерсон ("низкоуровневые" алгоритмы) вам в помощь. И если всё сложится "удачно", то ребёнок сможет поступить в МГУ в 9 лет.
Тут, правда есть подводный камень, с которого очень легко соскользнуть. Мозг, который привыкает к такому режиму работы, перестаёт развивать абстрактное мышление вовсе, и в 35 лет будет иметь детсадовский уровень. Вечно молодой, так сказать. И количество в качество не перерастёт, как многие думают. Сначала будет незачем, а когда уже надо будет "зачем", не сможет. Если блошкам не давать выпрыгивать из банки, они привыкнут, и не смогут выпрыгнуть, даже если их попросить. Но не умрут.
А если хочется, чтобы ребёнок не выживал, а жил, то вот пара советов.
Во-первых, надо развивать мышление, а не память. Мышление развивается через опыт работы с незнакомыми задачами. Но тут надо очень тщательно следить, чтобы у ребёнка не было возможности (соблазн-то будет и огого какой) скатиться в алгоритмы. Чтобы он действительно работал с тем уровнем абстракции, который предполагает задача. Отсюда автоматически следует второй совет.
Во-вторых, торопиться не надо. Нужно разобрать задачу на составляющие части, посмотреть, какой уровень абстракции у каждой из них, и терпеливо ждать, когда ребёнок дорастёт до самого высокого из них. Пока ученик не дозрел, он сможет работать с абстракцией либо понижающим алгоритмом, либо никак. И если вы будете заставлять его работать, то он автоматически скатится в алгоритмы.
В-третьих, если не получается "во-первых" и "во-вторых" (они всё-таки требуют кое-какой подготовки), то хотя бы не трогать. Не развивайте ребёнка, никаких кружков робототехники в детском саду, никаких илитных гомназий. Даже от обычной школы нужно попытаться оградить. Хотя бы сказать "ну не понимаешь, ладно, потом старше будешь - поймёшь". Пусть просто живёт, радуется, растёт. Развиваться будет, никуда не денется. Всё равно чем старше, тем более сложные задачи будет решать.
