Как известно, в школьной программе по математике почему-то отсутствует как таковое упоминание предела. Это, знакомое всем нам с университетского курса математического анализа, понятие школьникам не полагается изучать, потому что "с высшей точки зрения" оно не относится к элементарной математике. Вот только есть у этой позиции два очень тонких места, из-за которых всё ломается и школьный курс математики теряет свою логическую стройность.
№1. Производная
В школьной программе понятие производной есть. А что это такое? Лес рук... Я несколько лет интересуюсь у выпускников нематематических школ, что у них в качестве определения производной выдавалось, и не получаю вразумительного ответа. Ведь ежу же ясно, что это - предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Но предела нет в школьной программе!
Таким образом, мы получаем либо неверное определение (как выше на скрине из Российской Электронной Школы), либо использующее запрещённое понятие предела, которое сочли слишком сложным для восприятия школьниками. Так не давали бы производную, казалось бы, и не было бы проблем - но, во-первых, тогда сломаются графики функций (исследование на монотонность/выпуклость без производной - тот ещё oнaнизм), во-вторых производная нужна в физике (и причём гораздо раньше, чем изучается в "Алгебре и началах анализа").
Правда, я так и не понял, какой смысл кормить школьников приложениями производной, если шансов понять её смысл им не предоставляют. Казалось бы, их можно попросту не учить исследовать функцию при помощи производной, предоставив преподавателям анализа в техническом ВУЗе делать это с нуля, а не переучивать, тогда как освободившееся время в школе можно потратить на все хромающие у школьников навыки, которые можно было бы подтянуть перед их выпуском из школы в свободное плавание.
Ну или же, наоборот, дать 3-4 урока на освоение темы "Предел функции", чтобы потом спокойно заводить честное определение производной, потом корректно доказывать её свойства и выводить табличные значения, доказывать теоремы об исследовании функции... Что Вы говорите? Ах да, в школе уже давно никто и ничего не доказывает. Тогда да, можно и определений не давать. И вообще уже можно школы закрыть насовсем.
№2. Площадь
Другой прекрасный момент связан с понятием площади, которое "на пальцах" появляется ещё в начальной школе, где дети с удовольствием считают площади замысловатых фигур по клеточкам, открывая в эксперименте важные свойства этой положительной счётно-аддитивной инвариантной меры на плоскости. Ой, я ещё чуть было не забыл про её нормированность.
Нет, я не призываю рассказывать в школе все те слова, которые написал. Но тут есть такой момент, что с самого начала разговора о площадях, школьнику дают без доказательства утверждение о том, что площадь любого квадрата равна квадрату его стороны. Для натуральной стороны это легко докажет любой (или хотя бы смышлёный) ученик начальной школы, если ему минимально объяснить базовые принципы, что значит доказательство. Для рациональной стороны это, в принципе, можно потребовать от неглупого шести-семиклассника, который не забыл (а предварительно получил какое-то представление), что значит доказать. Для иррациональной...
Нужен предельный переход. Но предела (как и, по сути, иррациональных чисел) в школьной программе нет. А площадь квадрата - есть. В учебнике Атанасяна, например, проделан предельный переход в двойном неравенстве (это нижняя и верхняя интегральные суммы, по большому счёту), за исключением того самого отсутствия слова предел и соответствующих обозначений. Может ли понять этот пассаж девятиклассник, у которого не было пределов? Ответ очевиден.
Вот они и не понимают.
Очевидное лечение - либо перестать издеваться над детьми и признать, что из массовой школы исключается суррогат любых доказательств и отныне все эти доказательства - удел физматов (где всё идёт в строгом, стройном и логичном порядке), либо включить в школьную программу (не позднее восьмого класса) понятие предела функции. И туда же отлично ляжет предваряющий его предел последовательности. С красивыми картинками и примерами, шансы увидеть и хоть что-то понять у школьников возрастут многократно.
А без пределов, извините, беспредел какой-то получается!
