Решим сегодня следующую задачу:
Сколькими нулями оканчивается произведение 1×2×3×4×…×1533×1534×1535?
Формулировка не случайна. Эта задача была на II (продвинутом или усложнённом) этапе вступительного экзамена по математике в 7 класс школы 1535.
Вспомним сперва, что нуль в конце числа получается, если умножить какое-то число на 10. Но 10 = 2×5. Значит, задача сводится к тому, чтобы узнать, сколько пар простых множителей 2 и 5 встречается в числе, которое является произведением 1*2*3*4*…*1533*1534*1535.
Хорошая новость состоит в том, что на 2 делится каждое второе натуральное число, поэтому с множителями 2 проблем не возникнет - их много. А вот на 5 делится уже только каждое пятое натуральное число, то есть значительно меньше. Это означает, что достаточно найти, сколько раз простой множитель 5 встречается в записанном выше произведении. Это и будет ответом к задаче, так как в пару с каждой из этих пятёрок обязательно найдётся двойка, поскольку последних заведомо больше.
Как я уже сказал, каждое 5-е натуральное число делится на 5, поэтому среди чисел от 1 до 1535 ровно 1535 : 5 = 307 делится на 5. Однако, среди этих чисел есть ещё и такие, которые делятся на 5*5 = 25. Так как 1535 : 25 = 61 ост. 10, то таких чисел ровно 61. Каждое из них добавляет ещё по одному множителю 5 (одну пятёрку в них мы уже учли). Аналогично, среди этих чисел есть ещё и такие, которые делятся на 5*5*5 = 125. Так как 1535 : 125 = 12 ост. 35, то таких чисел ровно 12. Каждое из них добавляет ещё по одному множителю 5 (две пятёрки в этих числах мы уже учли). Наконец, среди этих чисел есть ещё и такие, которые делятся на 5*5*5*5 = 625. Так как 1535 : 625 = 2 ост. 285, то таких чисел ровно 2. Каждое из них добавляет ещё по одному множителю 5 (три пятёрки в этих числах мы уже учли).
Дальше можно не продолжать, так как 5*5*5*5*5 = 3125, а это уже больше 1535. Значит, чисел, которые делятся на 3125 у нас нет. Итак, всего получается 307 + 61 + 12 + 2 = 382 простых делителей 5 в числе, которое является произведением 1*2*3*4*…*1533*1534*1535. Это и есть количество нулей в конце этого числа.
Ответ: 382.
Если вам требуется подготовка к вступительным экзаменам в школу №1535, обращайтесь ко мне. Я являюсь репетитором по математике и физике и готовлю школьников к поступлению в эту школу на протяжении многих лет. Многие мои ученики поступили в школу 1535 и успешно в ней обучаются, а некоторые уже окончили и поступили в престижные вузы. Информацию обо мне и моих занятиях вы найдёте на сайте: https://yourtutor.info/.