Задача: Около окружности описан четырёхугольник, один угол которого прямой. Противоположный ему угол равен 60°, а прилежащие к нему стороны равны 8 и 15. Найдите две другие стороны этого четырёхугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По св-у описанного четырёхугольника x + 15 = y + 8 ⇒ y = x + 7. Проведём BD. В △CBD по теореме косинусов BD = √(8^2 + 15^2 - 2 * 8 * 15 * 1/2) = √(64+225-120) = √169 = 13.
В прямоуг. △BAD по теореме Пифагора:
x^2 + y^2 = 13^2
x^2 + (x + 7)^2 = 169
2x^2 + 14x + 49 = 169
2x^2 + 14x - 120 = 0 | /2
x^2 + 7x - 60 = 0
(x+12)(x-5) = 0
x = 5, так как x>0
y = 5 + 7 = 12.
Ответ: 5 и 12.
Задача решена.
