Задача: Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к боковой стороне, равна его основанию. Найдите косинус угла между боковыми сторонами этого треугольника. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть BM = x, тогда CM = x и AB = 2x (см рисунок) В △ABC по формуле медианы: AM = (√(2 * (2x)^2 + 2AC^2 - (2x)^2))/2 AM = (√(4x^2 + 2AC^2))/2 | 2AM = √(4x^2 + 2AC^2) | возведём обе части в квадрат 4AM^2 = 4x^2 + 2AC^2 | -2AC^2 (поскольку AM = AC, то 4AM^2-2AC^2= 4AС^2-2AC^2 = 2AC^2) 2AC^2 = 4x^2 AC^2 = 2x^2 AC = x√2, так как AC>0 и x>0 В △ABC по выражению косинусов углов треугольника через его стороны: cos∠B = ((2x)^2 + (2x)^2 - (x√2)^2)/(2 * 2x * 2x) cos∠B = 6x^2/8x^2 cos∠B = 3/4 cos∠B = 0,75 Ответ: 0,75. Задача решена.
Задача: Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к боковой стороне, равна его основанию. Найдите косинус угла между боковыми сторонами этого треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть BM = x, тогда CM = x и AB = 2x (см рисунок)
В △ABC по формуле медианы:
AM = (√(2 * (2x)^2 + 2AC^2 - (2x)^2))/2
AM = (√(4x^2 + 2AC^2))/2 |
2AM = √(4x^2 + 2AC^2) | возведём обе части в квадрат
4AM^2 = 4x^2 + 2AC^2 | -2AC^2 (поскольку AM = AC, то 4AM^2-2AC^2= 4AС^2-2AC^2 = 2AC^2)
2AC^2 = 4x^2
AC^2 = 2x^2
AC = x√2, так как AC>0 и x>0
В △ABC по выражению косинусов углов треугольника через его стороны:
cos∠B = ((2x)^2 + (2x)^2 - (x√2)^2)/(2 * 2x * 2x)
cos∠B = 6x^2/8x^2
cos∠B = 3/4
cos∠B = 0,75
Ответ: 0,75.
Задача решена.