Задание
Найти все корни уравнения: z⁵ + 2z⁴ + 4z³ + 8z² + 16z + 32 = 0
Решение
В многочлене в правой части уравнения каждое последующее слагаемое можно получить из предыдущего умножением на 2/z. Это позволяет рассмотреть правую часть как сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен b₁ = z⁵, а знаменатель q = 2/z. Ранее было продемонстрировано, как благодаря такому подходу многочлен раскладывается на множители. Поскольку в нашем случае z – неизвестная величина, то стоит специально оговорить, что необходимые преобразования при разложении будут справедливы при z ≠ 0 и z – 2 ≠ 0 (то есть z ≠ 2). Такие условия выполняются – подстановка 0 и 2 в исходное уравнение показывает, что эти числа его корнями не являются.
Всё сказанное применительно к данной задаче означает, что исходное уравнение равносильно другому:
z⁵ + 2z⁴ + 4z³ + 8z² + 16z + 32 = 0 ⇔ (z + 2)·(z² + 2z+ 4)·(z² – 2z + 4) = 0
Для его решения остаётся выяснить, при каких значениях z каждый из трёх сомножителей обращается в ноль, иными словами уравнение разбивается на совокупность трёх следующих:
1) z + 2 = 0
2) z² + 2z + 4 = 0
3) z² – 2z + 4 = 0
Решим каждое из них по отдельности:
1) z + 2 = 0
Отсюда z₁ = –2 .
2) z² + 2z + 4 = 0
Дискриминант такого квадратного уравнения D = 2² – 4·1·4 = 4 – 16 = –12 < 0, следовательно, оно имеет комплексные корни:
3) z² – 2z+ 4 = 0
У этого квадратного уравнения дискриминант D = (–2)²– 4·1·4 = 4 – 16 = –12 тоже отрицателен, значит:
В итоге получается, что исходное уравнение имеет один действительный корень и четыре комплексных.
Ответ
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.