Здравствуйте, дорогие читатели! Это моя первая статья, и я, пожалуй, начну свою историю публикаций с очень интересной темы, связанной с числовыми последовательностями.
Мы знаем, что объекты, пронумерованные подряд натуральными числами, образуют последовательности. Если членами какой-то последовательности являются числа, то такую последовательность называют числовой. Последовательности можно задать описательно, графически (с помощью функции), формулой n-го члена (пример: x(n) = 2^n (последовательность натуральных степеней числа 2)), а также с помощью рекуррентной формулы, т. е. формулой, выражающей член последовательности через предыдущий (пример: a(n-1) = 2a(n+1)/a(n), если а(1) = 1). При рекуррентном способе заданы 1-й или несколько 1-ых членов последовательности, а остальные вычисляют друг за другом.
Сегодня я хочу рассказать вам об одной из самых известных, рекуррентно заданных, последовательностей. Члены этой последовательности называются числами Фибоначчи, в честь средневекового математика Леонардно Фибоначчи, который, решая задачу о численности потомства кроликов, вывел формулу числовой последовательности и обратил внимание на её замечательные свойства. Задача заключалась в том, чтобы определить количество пар потомства кроликов через какое-то число месяцев, если каждая взрослая пара каждый месяц приносит пару молодых кроликов, которые в свою очередь через месяц тоже начинают приносить потомство. Формула этой последовательности выглядит так: u(1) = u(2) = 1, u(n+2) = u(n+1) + u(n). (Формула задана рекуррентно, получаются значения: 1, 1, 2, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... .)
На самом деле числа Фибоначчи можно встретить во многих обычных вещах, например, если посмотреть на подсолнух, то можно разглядеть спирали из семян, закручивающиеся в противоположных направлениях. Количества спиралей соответствует соседним членам ряда Фибоначчи. Чаще всего их количество равно 34 и 55, но встречаются также подсолнухи, где их 89 и 144. То же самое наблюдается и в структуре сосновых шишек, и в плодах ананаса. Закручивание по спирали можно заметить если посмотреть сверху на ураган, на ракушку, на гребень волны.
Ещё одним свойством ряда Фибоначчи является то, что если для каждого натурального n вычислить отношение u(n+1)/u(n), то мы получим последовательность: 1; 2; 1,5; 1,(6); 1,6; 1,625; 1,(61538); 1,61(90476); ... . Полученная последовательность обладает таким свойством: с возрастанием номеров её члены всё меньше и меньше отличаются от числа 1,618. Число 1,618 ещё в античные времена связывали с понятиями гармонии и красоты. На него ориентировались скульпторы, архитекторы, художники, например, отношение длины греческого храма Парфенона к его высоте приблизительно равно 1,618. Гений эпохи Возрождения Леонардно да Винчи считал, что среди многих отношений существует одно, единственное и неповторимое. Именно его он и назвал "золотым сечением".
Большое спасибо за прочтение статьи!
Источники: учебник по алгебре 9 класс, дополнительные материалы по математике.