Задача: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке M, а прямые BC и AD — в точке K. Найдите отрезок BK, если DM = 3, AM = 4, AK = 5. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Пусть ∠BCD = α, а ∠CBA = β, тогда по св-у вписанного четырёхугольника ∠BAD = 180° - α и ∠ADC = 180° - β. ∠KAB = ∠DAM = 180° - ∠BAD = 180° - (180° - α) = α. ∠KBA = 180° - ∠CBA = 180° - β. ∠ADM = 180° - ∠ADC = 180° - (180° - β) = β. Рассмотрим △ABK и △ADM: Доказательство данных теорем в №33 Итак, (AB*AK)/(AM*AD) = (BK*BA)/(AD*DM) ⇒ (AD*DM)/(AM*AD) = (BK*BA)/(AB*AK) ⇒ DM/AM = BK/AK ⇒ 3/4 = BK/5 ⇒ BK = 15/4; BK = 3,75. Ответ: 3,75. Задача решена.
Задача: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке M, а прямые BC и AD — в точке K. Найдите отрезок BK, если DM = 3, AM = 4, AK = 5.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть ∠BCD = α, а ∠CBA = β, тогда по св-у вписанного четырёхугольника ∠BAD = 180° - α и ∠ADC = 180° - β.
∠KAB = ∠DAM = 180° - ∠BAD = 180° - (180° - α) = α.
∠KBA = 180° - ∠CBA = 180° - β. ∠ADM = 180° - ∠ADC = 180° - (180° - β) = β.
Рассмотрим △ABK и △ADM:
- по теореме об отношении площадей треугольников площади 2-ух △-ов с равным углом относятся как произведения их сторон, заключающих этот угол ⇒ поскольку ∠KAB = ∠DAM = α, то S△ABK/S△ADM = (AB*AK)/(AM*AD)
- по теореме об отношении площадей треугольников если 2 △-а имеют углы, сумма которых равна 180°, то площади этих △-ов относятся как произведения их сторон, заключающих данные углы ⇒ поскольку ∠KBA + ∠ADM = 180° - β + β = 180°, то S△ABK/S△ADM = (BK*BA)/(AD*DM)
Доказательство данных теорем в №33
Итак, (AB*AK)/(AM*AD) = (BK*BA)/(AD*DM)
⇒ (AD*DM)/(AM*AD) = (BK*BA)/(AB*AK)
⇒ DM/AM = BK/AK
⇒ 3/4 = BK/5
⇒ BK = 15/4; BK = 3,75.
Ответ: 3,75.
Задача решена.