Задача: Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, а его основание — 8. На продолжение боковой стороны опустили высоту AH. Найдите расстояние x между проекциями точки H на стороны AB и AC треугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим ∠BAC углом α, тогда по св-у р/б треугольника ∠BCA = α. Опустим высоту BN на основание AC, по св-у равнобедренного △-а AN = NC = 4.
В прямоуг. △ANB: cos α = AN/AB = 4/5 ⇒ sin α = √1-(4/5)^2 = 3/5. = 0,6.
В прямоуг. △AHC: AH = AC * sin α = 8 * 0,6 = 4,8 (см рисунок)
Рассмотрим четырёхугольник AHKM: ∠AMH = ∠AKH (по усл) и оба угла "опираются" на AH ⇒ по II признаку вписанного четырёхугольника вокруг AHKM можно описать окружность, диаметром которой будет AH (см рисунок).
По теореме синусов для хорд MK = 2R * sin α = d * sin α = AH * sin α = 4,8 * 0,6 = 2,88.
Ответ: 2,88.
Задача решена.