Задача: Из произвольной точки М окружности, описанной около прямоугольника, на две его диагонали опустили перпендикуляры. Найдите длину x отрезка, соединяющего основания этих перпендикуляров, если диагонали прямоугольника равны d, а угол между ними равен φ.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По св-у прямоугольника диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит, точка пересечения диагоналей и есть центр описанной окружности ⇒ AC и BD - диаметры ⇒ d - диаметр окружности.
∠BOC = 180° - φ, так как они смежные. Рассмотрим четырёхугольник KMNO: ∠KMN = 360° - 90° - 90° - (180° - φ) = φ. Проведём радиус OM, он будет равен d/2. Противоположные углы четырёхугольника в сумме дают 180°, тогда по I признаку вписанного четырёхугольника вокруг KMNO можно описать окружность (см. рисунок)
Пусть ∠KOM = β, тогда ∠KNM = β, поскольку они опираются на одну и ту же дугу ◡MK. В △KMN: по теореме синусов sin β/MK = sin φ/ KN. В прямоугольном △OKM: MK = sin β * OM= sin β * d/2 (см рисунок).
Тогда, sin β/(sin β * d/2) = sin φ/ KN; отсюда KN = sin φ * d/2.
Ответ: sin φ * d/2.
Задача решена.