Задача: В квадрат со стороной 1 вписана окружность. Найдите длину отрезка, обозначенного на рисунке буквой х.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Проведём хорду MN. Пусть ∠MNK равен α. В окружности α опирается на хорду MK и, являясь вписанным углом, равна ⌒MK/2. По теореме об угле между касательной и хордой ∠BMC = ⌒MK/2 ⇒ ∠BMC = α (см рисунок)
M, N, P и L - точки касания сторон квадрата и окружности. По теореме об отрезках касательной: AN = AM, BM = BL, LC = CP, PD = ND. Однако, поскольку все стороны квадрата равны, то все данные отрезки равны между собой, тогда каждый отрезок равен 0.5, так как сторона квадрата равна 1.
Рассмотрим прямоуг. △MBC: MC^2 = MB^2+BC^2; MC = √((1/2)^2 +1^2) = √5/2. sin α = BC/MC = 1/(√5/2) = 2/√5 = 2√5/5. cos α = MB/MC = (1/2)/(√5/2) = 1/√5 = √5/5.
Радиус окружности равен 1/2 стороны квадрата ⇒ R = 1/2. По теореме синусов для хорд: MK/2R = sin α, отсюда MK = 2R * sin α = sin α. Тогда хорда MK = 2√5/5.
В прямоуг. △MAN: MN^2 = MA^2 + AN^2; MN = √((1/2)^2 + (1/2)^2) = √(1/2) = 1/√2 = √2/2 ⇒ по вышедок. sin ∠MKN = √2/2, 0°<∠MKN<90° ⇒ ∠MKN = 45°.
В △NMK опустим высоту MH на сторону NK (см рисунок)
В △NHM: NH = MN * cos α = √2/2 * √5/5 = √10/10. В △KHM: HK = MK * cos 45° = 2√5/5 * √2/2 = √10/5. NK = NH + KH = √10/10 + √10/5 = 3√10/10.
Ответ: 3√10/10.
Задача решена.