Задача: : В окружность радиуса 2 вписан равносторонний шестиугольник. Найдите радиус окружности, проходящей через его вершину, середину противоположной стороны и центр шестиугольника.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Разделим решение данной задачи на 2 части: первая - доказательство свойств правильного шестиугольника, вторая - решение задачи с помощью доказанных свойств. (Первую часть расписывать необязательно, она нужна для общего понимания картины).
ЧАСТЬ I
Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF. По свойствам правильного шестиугольника стороны равны радиусу описанной окружности и радиусы, проведённые в вершины, являются биссектрисами их углов. Докажем эти свойства.
В нашем правильном шестиугольнике проведём радиусы BO, CO и DO, они будут равны, поскольку являются радиусами. Тогда треугольники △BOC и △COD - равнобедренные по определению.
В правильном многоугольнике все углы равны, сумма углов шестиугольника равна 180° * (6 - 2) = 720° ⇒ каждый угол нашего шестиугольника равен по 720°/6 = 120°
Рассмотрим △BOC и △DOC:
1) CO - общая
2) BO = DO (как радиусы)
3) BC = CD (по усл.)
⇒ △BOC = △COD по III признаку равенства треугольников ⇒ все соответственные элементы равны ⇒ ∠BCO = ∠DCO. ∠BCO + ∠DCO = 120° ⇒ ∠BCO = ∠DCO = 60°.
Поскольку △BOC и △DOC равнобедренные, то углы при основаниях равны ⇒ ∠BCO = ∠CBO = ∠DCO = ∠CDO = 60°.
В △BOC: ∠BCO = ∠CBO = 60° ⇒ ∠COB = 180 - 60° - 60° = 60° ⇒ △BOC - равносторонний по I признаку ⇒ BC = CO = BO, то есть BC = R. Поскольку шестиугольник правильный, то данное док-во работает для каждого треугольника, образованного радиусами описанной окружности и стороной правильного шестиугольника
⇒ каждая сторона равна радиусу описанной окружности, а каждый радиус, опущенный в вершину шестиугольника, делит его угол пополам.
Что и требовалось доказать.
ЧАСТЬ II
Проведём радиусы CO и EO. По св-у правильного шестиугольника △COE - равносторонний. DO - медиана, проведённая к стороне CE ⇒ по св-у равностороннего △-а DO - биссектриса и высота (см. рисунок).
По св-у правильного шестиугольника ∠OCD = 60° ⇒ В прямоугольном △ODC: DO = sin 60° * CO = √3.
Проведём AD и AO. Рассмотрим пятиугольник ABCDO: сумма углов пятиугольника равна 180° * (5 - 2) = 540° ⇒ ∠AOD = 540° - ∠ODC - ∠DCB - ∠CBA - ∠BAO = 540° - 90° - 120° - 120° - 60° = 150°.
В большей окружности AD является хордой, а ∠AOD - вписанным углом ⇒ по теореме синусов для хорд AD/2R = sin ∠AOD, отсюда R = AD/2sin ∠AOD ⇒ R = AD/(2*0,5) = AD. Получается, что радиус большей окружности равен хорде AD.
Продлим DO до пересечения со стороной AG в точке G. Поскольку CE∥AG и DF⟂CE, то DF⟂AG. Центр описанной окружности равноудален от всех вершин ⇒ DO = OF = √3. Также AF = FG, поскольку AG - высота в равностороннем △AOG, а значит, что по св-у равностороннего △-а AG - медиана. AF + FG = 2 ⇒ AF = FG = 1 (см рисунок)
В прямоугольном △AFD: по т. Пифагора AD^2 = AF^2 + DF^2; AD = √13 ⇒ R = √13.
Ответ: √13.
Задача решена.