Задача: Прямая проходит через вершину C прямого угла треугольника ABC и делит его гипотенузу на отрезки AK и BK с длинами c и d. Найдите тангенс угла ACK, если катеты CB и CA треугольника равны a и b.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Обозначим ∠ACK углом α. В △ACK: по теореме синусов sin α/c = sin∠AKC /b, отсюда sin α = c * sin∠AKC / b.
∠KCB = 90° - α, так как ∠C = 90°. В △CKB: по теореме синусов sin(90° - α)/ d = sin∠CKB / a, отсюда sin(90° - α) = d * sin∠CKB / a ⇒ cos α = d * sin∠CKB / a (см. рисунок).
tg α = sin α/cos α ⇒
tg α = (c * sin∠AKC / b)/(d * sin∠CKB / a) = ac * sin∠AKC/ bd * sin∠CKB. ∠AKC = 180 - ∠CKB ⇒ sin ∠AKC = sin∠CKB ⇒ tg α = ac/bd.
Ответ: ac/bd.
Задача решена.
