Задача: Диагональ равнобедренной трапеции образует с одной её боковой стороной угол 30°, а с другой — 45°. Найдите отношение оснований трапеции. ©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич. Решение: Углы при большем основании острые, при меньшем - тупые. Поэтому ∠BAC = 30°, ∠ACD = 45°. Пусть ∠CAD = α, тогда ∠BCA = α поскольку ∠CAD=∠BCA как накрест лежащие при пересечении параллельных AD и BC секущей AC (см. рисунок) В △ABC: по т. синусов sin 30°/BC = sin α/AB. В △ACD: п т. синусов sin 45°/AD= sin α/CD. Поскольку AB = CD по св-у р/б трапеции, то sin α/CD = sin α/AB. Тогда по св-у транзитивности: sin 30°/BC = sin 45°/AD 1/2BC = √2/2AD 1/BC = √2/AD BC/AD = 1/√2. Ответ: 1/√2. Задача решена.
Задача: Диагональ равнобедренной трапеции образует с одной её боковой стороной угол 30°, а с другой — 45°. Найдите отношение оснований трапеции.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Углы при большем основании острые, при меньшем - тупые. Поэтому ∠BAC = 30°, ∠ACD = 45°. Пусть ∠CAD = α, тогда ∠BCA = α поскольку ∠CAD=∠BCA как накрест лежащие при пересечении параллельных AD и BC секущей AC (см. рисунок)
В △ABC: по т. синусов sin 30°/BC = sin α/AB.
В △ACD: п т. синусов sin 45°/AD= sin α/CD.
Поскольку AB = CD по св-у р/б трапеции, то sin α/CD = sin α/AB. Тогда по св-у транзитивности:
sin 30°/BC = sin 45°/AD
1/2BC = √2/2AD
1/BC = √2/AD
BC/AD = 1/√2.
Ответ: 1/√2.
Задача решена.