Закон туриста

Продолжим рассказ о математических основах законов подлости из книжки "Вероятности неприятности", и сегодня поговорим об одной простенькой закономерности, которая не вошла в классический набор "законов Мерфи", но хорошо известна туристам, геологам и всем, кто пользуется топографическими картами:

То место, куда направляется турист, чаще всего оказывается либо на сгибе карты, либо на краю листа.

Раскроем карту, чтобы найти на ней какой-нибудь объект. Предположим, что нас одинаково часто интересуют объекты, расположенные на всех участках карты. Причём не объекты сами по себе как точки. Весь смысл использования карты состоит в обозрении окрестностей объекта, некой конечной площади. Пусть нам достаточно будет некоторой малой доли α от площади карты S, чтобы понять, как попасть туда, куда нужно. Если то, что мы ищем, окажется недалеко от сгиба или края карты, скажем ближе какого-то критического расстояния d, мы можем счесть, что закон туриста сработал. Доля таких пограничных площадей в общей площади карты даст нам вероятность испытать этот закон подлости на себе. Вот как выглядят неприятные участки карты при α = 0,5% и всего одном сгибе:

Серым выделены «нехорошие» участки. Отдельно показан участок с полупроцентной площадью для карты размерами 40×50 см, она имеет размер, слегка превышающий 3 см

Для окрестности в форме квадратика a² = αS. Пограничные полоски будут иметь площадь d√S = S√α. Четыре полосы: две вертикальные и две горизонтальные — расположатся у края; любой дополнительный изгиб, горизонтальный или вертикальный, добавит ещё одну полоску. А теперь воспользуемся свойством аддитивности мер и вычислим меру объединения всех полосок как сумму их площадей, за вычетом площади пересечений. При этом следует заметить, что пересекающиеся полоски формируют квадратики площадью d² = αS.

Сложив карту так, чтобы получилось n горизонтальных и m вертикальных изгибов, мы получим суммарную площадь неприятной зоны, равную

Разделив ее на площадь всей карты S, получим неприятную долю общей площади, выраженную только через количество сгибов и α. Отсюда получаем вероятность оказаться в этой доле при случайном выборе объекта:

Вот какой получается вероятность нарваться на закон туриста при весьма незначительном α = 0,5%

Чаще всего карты имеют по три вертикальные и три горизонтальные складки, что даёт вероятность выполнения нашего закона подлости около 60%. На следующем рисунке заливкой показаны области, в которых вероятность p превышает 50% для различных значений α.

Зоны, в которых вероятность оказаться на сгибе карты или на её краю, превышают 50%. Числами отмечены значения α.

Например, приняв α = 0,75% и сложив карту вдвое в одном направлении (одна складка) и вчетверо — в другом (три складки), мы найдём, что вероятность попасть в неудобное место превысит 50%.