В восьмом классе дети изучают операцию извлечение квадратного корня, как действие обратное возведению в квадрат. Если 10 в квадрате равно 100, то корень из 100 равен 10. Арифметический квадратный корень, разумеется. (Кстати, напишите в комментариях, если не понятно зачем разделять квадратный корень и арифметический квадратный корень.)
А потом школьники сталкиваются с ситуацией извлечения корня из двух, трех, пяти или любого числа, которое не является квадратом натурального. И так как они не знают, какое число в квадрате равно двум, решают, что таких чисел не существует. Это, во-первых, не правда, а во-вторых, странно. Если корня из двух и из восьми нет, то как может существовать ответ на произведение этих чисел? (Чему он равен?)
Давайте попробуем найти льва в пустыне. Все нижеследующие рассуждения верны для положительных вещественных чисел.
Из двух разных чисел одно всегда больше другого. При возведении в квадрат это отношение сохраняется. То есть квадрат большего числа будет больше. Значит, корень из двух следует искать между единицей и двойкой. Потому что 1² < 2 < 2².
Разделим этот промежуток пополам. 1,5² = 2,25. Все еще больше 2. Но мы уменьшили область поиска. Конечно, она все еще бесконечная. Но не будем зацикливаться на этом.
Итак, теперь известно, что корень из двух лежит в промежутке от 1 до 1,5. Опять поделим 🦆промеж🦆 на две части: 1,25² = 1,5625.
Теперь известно в какой четверти промежутка (1; 2) находится наш лев. Продолжаем.
Как видно промежуток поисков сужается и все ближе подбираемся к искомому числу. Два знака после запятой точно известны. Потому что корень из двух больше, чем 1,4140625 и меньше, чем 1,41796875.
Эту процедуру можно продолжать до бесконечности, подбираясь всё ближе.
Но в какой-то момент придется поручить эту задачу своим детям, а они передадут ее своим. И так далее. Этот процесс невозможно закончить другим способом, кроме волевого решения - достаточно.
Так что корень из двух существует. Проблема в том, что мы не можем до него добраться. Кстати, об этом же апория про Ахиллеса и черепаху.