Какова вероятность того, что расстояние между двумя случайно выбранными точками на окружности меньше радиуса?

Итак, пусть нам дана некоторая окружность радиуса R.

Рис 1. Окружность радиуса R.

Давайте определимся, что именно значит случайно выбранная точка на окружности.

Во-первых, напоминалка: окружность не есть круг. Окружность — это множество точек, равноудаленных от центра, а круг — это еще и все, что окружностью обведено.

Во-вторых, выбор точки назовем случайным, если для любых двух дуг окружности S1 и S2 равной длины вероятность того, что точка, которую мы выбираем случайно, будет лежать на S1, равна вероятности того, что она будет лежать на S2.

Рис 2. Дуги S1 и S2 равной длины.

Отсюда, кстати, следует интересная закономерность: вероятность того, что точка попала на некоторую фиксированную дугу длины l, равна в точности l:C, где C — длина окружности.

Рис 3. Вероятность попадания точки на произвольную дугу AB.

Теперь мы готовы к решению задачи!

Первая точка (назовем ее A) из двух случайно выбранных может оказаться где угодно. Не ограничивая общности, предположим, что она оказалась на месте, указанном на рисунке 4:

Рис 4. Первая точка A.

Теперь давайте найдем все возможные точки окружности, удаленные от точки A меньше, чем на радиус R. Для этого можно построить еще одну окружность с радиусом R, но в этот раз с центром в точке A.

Рис 5. Добавление окружности с центром в т A.

Ясно, что AC=AD=CO=DO=OA=R, то есть все красные отрезки на чертеже равны радиусу изначальной и новой окружностей. Осталось лишь заметить, что, если вторая точка B попадет на дугу CAD (не включая точки C и D), то расстояние между точками A и B будет как раз меньше радиуса R. В противном же случае расстояние будет либо равно R, либо будет превосходить R.

Получается, чтобы найти ответ, нужно длину дуги CAD разделить на длину окружности (вспоминаем рис 3). Несложно заметить, что треугольники AOC и AOD равносторонние, а значит углы ∠AOC и ∠AOD равны и каждый составляет 60°. Тогда ∠COD = 120°. Теперь вспомним, что длина дуги пропорциональна центральному углу, который опирается на эту дугу:

Вычисление окончательного ответа.

Задачки для читателей

Вот парочка похожих задач, правда, они посложнее исходной :)

1. Дан отрезок длины L. Найти вероятность того, что расстояние между случайно выбранными на этом отрезке двумя точками меньше L/2 (половины длины отрезка).

2*. Какова вероятность того, что расстояние между двумя случайно выбранными точками круга меньше радиуса?

Во второй задаче подразумевается, что точка выбирается случайно, если для любых двух фигур внутри круга одинаковой площади вероятность попасть в каждую из этих двух фигур одинаковая.