Задание
По некоторой траектории движется материальная точка. Доказать, что производная её кинетической энергии по скорости равна её импульсу.
Решение
Кинетическая энергия Eₖ для материальной точки с массой m, движущейся со скоростью v, выражается равенством:
Рассматривая кинетическую энергию как функцию скорости, найдём её производную:
Здесь: (а) – масса m считается постоянной, поэтому её и число 2 в знаменателе выносим за знак производной; (б) – находим производную функции v² по v и сокращаем получившиеся в числителе и в знаменателе двойки; (в) – импульс p по определению равен произведению массы на скорость.
Таким образом приведённые несложные выкладки показывают, что производная кинетической энергии по скорости действительно равна импульсу, а это и требовалось доказать.
Комментарий
В вузовских курсах математики и физики производные чаще записываются иначе, чем это принято в школе – как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. В таких обозначениях в задаче требуется доказать равенство
Ход решения же может быть записан так:
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.