Виды движения.
Кинематика изучает различные виды движения. Движение может иметь очень сложную и замысловатую траекторию, но в рамках школьной физики особое внимание уделяется нескольким частным случаям движения:
Сегодня мы поговорим о движении по окружности, то есть о движении тела, при котором траектория его движения является окружностью или дугой окружности.
Хочешь испытать силу движения по окружности?
Вспомни старого доброго Джеймса Бонда и серию, когда его хотели убить на центрифуге. Кстати, перегрузка была 12g — правдоподобно ли это?
Движение по окружности, основные понятия.
Чтобы разобраться с движением по окружности, вспомним базовые факты из математики:
Длина окружности 𝑆окр = 2 𝜋 𝑟, где 𝑟 – радиус
Дуга окружности — это ее часть, заключенная между двумя точками на
окружности.
Дуга имеет градусную меру, равную центральному углу, на который она опирается.
Вся окружность целиком имеет градусную меру 360°.
Так как дуга — это часть окружности, найти длину дуги можно, вычислив, какую долю эта дуга составляет от окружности.
Например, если дуга опирается на прямой угол, то есть градусная мера дуги 90°, то очевидно, что эта дуга составляет четверть от окружности, а значит и ее длина равна четверти от длины окружности.
В общем случае длина дуги:
Градусы VS радианы
До десятого класса вы привыкли углы измерять в градусах, потому что в геометрии это удобно. Однако градус — это не фундаментальная единица, а физика - наука фундаментальная! Поэтому в задачах ЕГЭ по физике углы часто задаются не в градусах, а в радианах.
Тут надо помнить важнейшее соотношение: 360° = 2𝜋. 360 градусов – это 2 𝜋 радиан. Или:
Про угол 𝜑, измеренный в радианах, обычно говорят, что это угол в ‹‹пях››, а не в градусах (то есть в единицах 𝜋 ).
Теперь, если углы в радианах, то формула для длины дуги записывается очень просто:
где 𝜑дуга — угол, выраженный в радианах. Как видите, измерять углы в
радианах иногда бывает еще и очень удобно.
Казалось бы, причем тут кинематика? А при том, что если тело, которое двигается по окружности, успевает за некоторое время переместиться на угол 𝜑, то путь этого тела как раз равен длине дуги, по которой оно двигалось:
Скорость равномерного движения по окружности
Будем рассматривать положение тела на окружности с помощью углов (выраженных в радианах). За начало отсчета углов традиционно принимается крайняя правая точка на окружности, тогда угол 𝜑 будет образован радиусом, проведенным к началу отсчета, и радиусом, проведенным к телу (точке А на рисунке):
Такой способ задания положения тела еще называют полярной системой координат.
Если тело равномерно движется по окружности, можно вычислить его угловую скорость 𝝎:
где 𝛥𝜑 — это изменение углового положения тела за время 𝛥𝑡.
Угловая скорость измеряется в радианах в секунду, [рад/с] или просто [1/c] = [c^-1].
Пусть тело в начальный момент времени находилось в положении 𝜑0, и за время 𝑡 сместилось на угол 𝛥𝜑, тогда новое положение тела:
Но, применяя формулу угловой скорости, получаем 𝛥𝜑 = 𝜔𝑡, следовательно:
Угловая скорость VS частота вращения.
Как вы, надеюсь, помните, частота вращения 𝜈, это число оборотов в единицу времени. Также, частота — это величина, обратная периоду вращения: 𝜈 = 1/Т.
Но ведь каждый полный оборот — это оборот на угол 2𝜋 радиан! Получается, что угловая скорость, в радианах, в 2𝜋 раз больше, чем частота вращения:
Угловая скорость VS линейная скорость
Ранее, когда мы изучали равномерное движение объектов, скорость у нас была ‹‹обычная››, путь на время. Теперь же, когда у нас появилась еще одна скорость, угловая, обычную мы будем называть линейной скоростью, чтобы не путать. Когда тело равномерно движется по окружности, очевидно, у него кроме угловой скорости можно вычислить и линейную. Чтобы это сделать рассмотрим путь точки, равный полному обороту. Как вы помните, полный оборот совершается за время, равное периоду вращения. Получаем:
Подставляя сюда формулу частоты, получаем формулу:
Но, как мы недавно выяснили, 𝜔 = 2𝜋𝜈, откуда получаем совсем изящное соотношение угловой и линейной скоростей:
Ускорение при движении по окружности
Центростремительное ускорение
Центростремительное ускорение заставляет вектор скорости менять направление. Формула:
В этой формуле 𝑣 – линейная скорость, r – радиус окружности (Вывод можно прочитать в § 1.26 в учебнике).
Раз центростремительное ускорение не меняет модуль скорости, вектор этого ускорения всегда направлен перпендикулярно вектору скорости и всегда направлен к центру вращения.
Пример. Вычислим нормальное ускорение поезда, который едет по закруглению дороги радиусом 1 км со скоростью 72 км/ч.
Не много. Но если считать силу, создающую это ускорение, то надо умножить ускорение на массу поезда, и это уже большое число.
Угловое ускорение.
Его суть такая же, как и у обычного ускорения, но для угловой скорости:
Уравнение для движения по окружности получается из уравнения для прямолинейного движения, если заменить 𝑥 → 𝜑, 𝑣 → 𝜔, 𝑎 → 𝛽 . Тогда для равноускоренного движения по окружности:
𝜔0- начальная угловая скорость, а 𝛽- угловое ускорение.
Аналогично для угловой скорости (то же самое, как для обычной скорости, начальная скорость плюс ускорение умножить на время):
Дополнительно. Тангенциальное ускорение.
Угловое ускорение также просто связано с тангенциальным, как и угловая скорость с линейной:
Эта формула получается также, как и формула для скорости.
Физический смысл тангенциального ускорения состоит в изменении скорости. То есть, если движение по окружности, то возникает тангенциальное ускорение. Оно всегда направлено вдоль или против скорости, как это было при прямолинейном ускоренном движении. Тут применима формула:
что выражает физический смысл. Поэтому и путь при движении по окружности с 𝑎𝜏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 можно найти аналогично прямолинейному движению:
Криволинейная траектория.
Криволинейное движение — это сложный вид движения по изогнутой кривой траектории, частыми случаями которого является движение по прямой и по окружности. В общем случае в каждой точке мы можем провести окружность, касательную к прямой в этой точке, а зная нормальное ускорение и скорость в данный момент можно вычислить радиус этой окружности.
Радиус такой окружности называется радиусом кривизны траектории в точке.
К примеру, если вы кинули камень под углом к горизонту, то в высочайшей точке его полета скорость будет перпендикулярна ускорению свободного падения. Поэтому ускорение свободного падения будет создавать только центростремительное ускорение.
Если известна скорость камня в верхней точке, например, 5 м/c, можно оценить радиус кривизны:
Важные понятия.
Период (𝑇) – время, за которое тело делает один круговой оборот. Период можно выразить через угловую скорость
Частота (𝜈) – количество оборотов по окружности за 1 сек.
Упражнение: получите все формулы для периода и частоты, написанные выше. А также выведите следующие формулы:
Ещё помните про Бонда? Оцени центростремительное ускорение в этом видео, примерно оценив размеры и замерив время одного оборота.
Прочитай Учебник. Мы ОЧЕНЬ кратко рассказали про основные факты и основные формулы, но для полного понимания и решения задач этого недостаточно. Прочитай учебник и ответь на вопросы (ссылка на учебник cтр.116).
Обязательное задание.
Задача 1. (уровень: easy)
Найдите с какой скоростью движутся тела, находящиеся на поверхности Земли, относительно её оси вращения.
Задача 2. (уровень: easy)
Скорость точек рабочей поверхности наждачного круга диаметром 300 мм не должна превышать 35 м/с. Допустима ли посадка круга на вал электродвигателя, совершающего 1400 об/мин; 2800 об/мин?
Задача 3. (уровень: normal)
Шкив. Движение от шкива I к шкиву IV передается при помощи двух ременных передач. Найти частоту обращения (в об/мин) шкива IV, если шкив I делает 1200 об/мин, а радиусы шкивов r1= 8 см, r2= 32 см, r3= 11 см, r4= 55 см. Шкивы II и III жестко укреплены на одном валу.
Задача 4. (уровень: normal)
Радиус кривизны. Тело брошено с поверхности Земли под углом 60 градусов к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема?
Задача 5. (уровень: hell)
Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением 𝛽=0.04 рад/с^2. Через какое время вектор её ускорения будет составлять угол 450?
Творческое задание.
В космосе земное притяжение можно имитировать движением по окружности: нужно раскрутить вас вместе с космическим аппаратом, чтобы вы начали давить на его стенки, приобретя центростремительное ускорение.
Дома возьмите любой предмет, привяжите его к веревке и раскрутите с постоянной частотой. Снимите процесс на видео, чтобы измерить частоту или период вращения, и определите центростремительное ускорение.
Ускорение получилось больше или меньше ускорения свободного падения? Попробуйте раскрутить тело так, чтобы центростремительное ускорение было равно g. Насколько это тяжело? А если не получается, то объясните почему.
Решение задач всех уровней можно найти в файлике (напишите команду /circle после /start)
Кстати, прочитай статью о планах Роскосмоса по созданию Космической Станции.
