Это завершающая статья в серии, посвящённой гамильтоновому хаосу. В этом цикле я старался сделать видимыми и ощутимыми некоторые элементы теории хаоса, которой я занимался профессионально несколько лет. В предыдущих частях мы увидели каким образом рождается странный аттрактор в предельно простой гамильтоновой системе — шарике, прыгающем на подпружиненном столике. Эта система способна порождать и красивые картинки и красивые объяснения этим картинкам. Сейчас мы рассмотрим некоторые качественные и количественные характеристики странных аттракторов.
Я вынужден был сделать большой перерыв между публикациями, так что рекомендую освежить в памяти предыдущие части серии, к тому же, там есть симпатичные картинки и анимации (берегите трафик!).
Говоря о количественных характеристиках, мы уже познакомились с показателями Ляпунова и связанными с ними характерным временем памяти динамической системы. Фурье-анализ продемонстрировал нам мультичастотность хаотического движения.
А что ещё отличает странный аттрактор от инвариантного тора или цепочки неподвижных точек? — Они по-разному выглядят внешне. Хаотическая орбита формирует своеобразный "туман", заполняющий некоторую площадь фазового пространства, тогда как инвариантный тор в сечении Пуанкаре образует замкнутую линию или множество овалов, а неподвижные точки (циклы) — конечное множество точек. С формальной точки зрения, эти орбиты, как топологические объекты, можно различить по их топологической размерности.
Эту характеристику можно определить различными способами, которые зависят от решаемой задачи. Для характеризации дискретных множеств точек чаще всего используется размерность Хаусдорфа или близкая к ней корреляционная размерность. Именно последнюю мы и рассмотрим подробнее, поскольку она очень легко вычисляется и позволяет оценить не только размерность объекта, но целый спектр его размерностей для различных масштабов в метризованном фазовом пространстве.
Что отличает одномерную линию от дискретного множества нульмерных точек? В первую очередь непрерывность. Однако если дискретных точек будет много, из них можно сформировать дискретные фигуры, которые будут в большей степени подобны нульмерному, одномерному или двумерному объекту, как показано на рисунке.
Отличает их распределение количества точек по расстояниям между ними, а точнее, то, как зависит количество точек, попадающих в диск, от его радиуса. Получить оценку этого распределения можно следующим очень простым способом:
1) Для множества из n точек найдём расстояния между всеми точками (если точек много, то между некоторой случайной выборкой, образующей репрезентативное подмножество точек).
2) Упорядочим множество расстояний, и определим функцию N(d), где N — количество пар точек, оказавшихся на расстоянии, меньше d друг от друга. Нормировав эту функцию количеством пар точек, мы получаем наблюдаемое распределение числа точек по расстояниям между ними для всего диапазона масштабов.
3) Диапазон расстояний и количество пар, как правило, получаются очень большими, так что мы воспользуемся логарифмической шкалой, позволяющий соотносить между собой величины разных порядков.
Давайте посмотрим как выглядит такое распределение для некоторых характерных множеств из 500 точек: нескольких очень плотных кластеров, одномерной линии, случайно заполненного точками квадрата и множества Серпинского.
Обратите внимание на отчëтливые линейные участки на получившихся графиках. Линейным графикам в логарифмических координатах соответствует степенная зависимость, а наклон линии показывает еë показатель. Это значит, что на определëнных масштабах количество точек, попадающих в диск зависит от радиуса диска так: N(d) ∝ d^α. Показатель α называется корреляционной размерностью множества точек в некотором диапазоне расстояний и даëт оценку для размерности Хаусдорфа, которая вычисляется более сложным образом.
Из наших примеров видно, что точки, лежащие на окружности, ожидаемо имеет размерность, близкую к единице, однако, на малых масштабах его размерность падает до нуля, а на больших, соизмеримых с диаметром окружности, резко возрастает, указывая на то, что эта фигура имеет свойства, проявляющиеся в двумерном пространстве (в частности, кривизну). Заполненный случайным образом квадрат имеет размерность, близкую к двум в широком диапазоне масштабов.
Наконец, самоподобный треугольник Серпинского обладает дробной размерностью log(3)/log(2) ≈ 1.6. Множества с дробной размерностью называются фрактальными. Они могут быть самоподобными, как множество Серпинского, или нет, это не важно.
Множество точек, образующих несколько компактных кластеров, имеет на малых масштабах размерность, близкую к двум, однако в масштабах, характерных для расстояний между кластерами, размерность падает, показывая, что сами кластеры двумерны, но они образуют дискретное множество нулевой размерности.
Можно построить график усреднëнных наклонов зависимости N(d) в логарифмических координатах, и получить спектр размерностей множества точек. Примеры таких спектров для описанных выше множеств показаны на рисунке:
Вернëмся к нашей системе. Спектры корреляционной размерности, позволят нам получить более подробную количественную топологическую картину инвариантных многообразий еë сечения Пуанкаре. Напомню, что динамика системы определяется моментами соударений шарика и столика, так что в четырёхмерном фазовом пространстве, образованном координатами и скоростями обоих тел, состояния, соответствующие соударениям, принадлежат трëхмерному подпространству. В отличие от множеств точек, размерность фазового пространств определяется не эмпирически, а однозначно задаëтся количеством переменных состояния или степеней свободы системы (обобщëнных координат).
Итак, мы будем анализировать спектры корреляционных размерностей орбит, как множеств точек в трёхмерном пространстве.
Орбиты качественно разделяются на три типа: циклы, состоящие из полюсов или седловых точек, инвариантные торы, и странные аттракторы. Инвариантные торы могут представлять собой, либо замкнутые многообразия, либо дискретное множество таких многообразий. Вот они, на двумерной проекции семейства орбит:
Циклы представлены дискретными множествами с нулевой размерностью, инвариантные торы — одномерными многообразиями (сплошными линиями), а странные аттракторы облаками точек, с размерностью, близкой к двум. И хотя все эти множества точек "живут" в трёхмерном фазовом пространстве, в силу закона сохранения энергии, они должны принадлежать подпространству с размерностью два.
Подобно спектрограммам Фурье, которые мы изображали в предыдущей части нашего исследования, мы можем построить спектрограммы корреляционной размерности семейства орбит системы для заданного значения еë полной энергии.
Надо признать, что корреляционная размерность не самая информативная характеристика гамильтоновых систем. В отличие от диссипативных систем, гамильтоновы странные аттракторы по мере накопления точек не выявляют какой‑то фрактальной структуры, и равномерно заполняют фазовое пространство, демонстрируя одно ключевое их свойство — эргодичность.
Существует недоказанное пока утверждение, которое называется гипотезой Каплан-Йорке, которое связывает между собой спектр экспонент Ляпунова и Хаусдорфову размерность аттрактора или траектории. Согласно этой гипотезе размерность вычисляется, через сумму экспонент Ляпунова. Однако, в гамильтоновых системах все экспоненты входят в спектр парами величин с взаимно противоположными знаками, так что при суммировании они уничтожатся. В результате, согласно гипотезе Каплан-Йорке, размерность любого аттрактора в такой системе будет в точности равна некоторому целому числу. В нашем случае, это 0,1 или 2.
Для диагностики странного аттрактора размерность годится, но показатели Ляпунова и частотные спектры дают больше информации. Впрочем, мы можем построить симпатичные спектры размерностей для семейств орбит системы при фиксированной энергии.
За пределами нашего рассказа остались достаточно важные вопросы: "О чём говорит эргодичность системы?" или "Можно ли вычислить её энтропию?" Но, во-первых сложность понятий, необходимых для ответа на них, не соответствует красоте получающихся картинок :) а во-вторых, в какой-то момент, всё же, надо бы и остановиться.
────────────────────────
Хотите, чтобы в вашей ленте Дзена было больше интересных и глубоких материалов? Подскажите алгоритму Дзена, что там нравятся публикации, подобные этой, подпишитесь, поставьте лайк или прокомментируйте.
Давайте формировать информационную среду вместе!
