В этой серии статей мы делаем видимыми и ощутимыми некоторые элементы теории хаоса. В предыдущих частях этой серии мы увидели каким образом рождается странный аттрактор в гамильтоновой системе — шарике, прыгающем на подпружиненном столике. Сейчас мы внимательнее рассмотрим некоторые качественные и количественные характеристики таких аттракторов.
Главное качественное свойство странного аттрактора и связанного с ним динамического хаоса — это перемешивание фазового пространства и связанное с ним экспоненциально растущее расстояние между близкими точками. Давайте посмотрим на это явление, построив график зависимости расстояния между двумя точками от количества итераций отображения Пуанкаре нашей системы для трёх типов орбит: неподвижной точки, инвариантного тора и странного аттрактора.
Нас не должно смущать то, что вокруг неподвижной точки тоже происходит изменение расстояния между соседями: в нашем эксперименте, выбирая соседей, мы неизбежно промазываем мимо полюса. Это приводит к периодическим колебаниям расстояния, но оно не растёт со временем.
В окрестностях инвариантного тора соседние точки тоже постепенно разбегаются. Это связано с тем, что каждый тор имеет своë число вращения и соседние точки, оказавшись на соседних торах, будут двигаться с разной скоростью и удаляться друг от друга. Причём скорость удаления будет не экспоненциальной, а близкой к линейной, что мы и наблюдаем на графике.
Наконец, окрестности точек странного аттрактора ведут себя также как окрестности седловых точек: растягиваются и сжимаются, следуя геометрической прогрессии. Это растяжение и отражает положительный наклон линии роста расстояния. В логарифмических координатах экспоненциально растущая кривая выглядит прямой, а еë наклон отражает показатель роста.
Можно усреднить скорость разбегания соседних точек по всей орбите, получив таким образом характеристику не отдельной точки, а всей орбиты в целом.
Для изучения динамики системы в окрестности неподвижных точек мы использовали матрицу Якоби — аналог производной для вектор-функции, а именно, вычисляли собственные числа этой матрицы. Как показал Сэмюэль Смейл, странный аттрактор состоит из бесконечного множества неподвижных точек разного порядка, однако всё они оказываются неустойчивыми. Для характеризации не отдельных неподвижных точек, а всего аттрактора в целом, используется модифицированный спектр, состоящий из чисел, называемых показателями Ляпунова. Количество показателей совпадает с размерностью фазового пространства и каждый из них соответствует темпу экспоненциального разбегания траекторий вдоль каждой из обобщённых координат. Однако, имеет смысл вычислять эту скорость не вдоль координат, а вдоль тех направлений, вдоль которых изменения расстояний между точками будет максимальным. Такие числа вычисляются на базе якобиана, по относительно несложному алгоритму, который не только усредняет скорость разбегания соседних точек вдоль траектории, но и собственные направления этого разбегания. Те усреднённые наклоны графиков для расстояния между соседними точками от числа итераций, что мы видели, соответствуют максимальным показателям Ляпунова. Со временем именно эти показатели будут доминировать и наблюдаться в динамике системы.
И тут есть один нюанс. В диссипативных неавтономных системах (в которых есть потери энергии и внешняя энергетическая подпитка) ляпуновские спектры устойчивых траекторий: неподвижных точек и предельных циклов, имеют только отрицательные показатели. Наличие в спектре траектории хотя бы одного положительного показателя подсказывает, что эта траектория может иметь хаотические свойства. Однако наша система консервативна, это приводит к тому, что все отображения строго сохраняют фазовый объём, деформируя его, но оставляя его меру неизменной. Это значит, что показатели Ляпунова в гамильтоновых системах обязаны появляться парами: ±λ. Следовательно, в таких системах как наша, положительные показатели неизбежны для любых нетривиальных траекторий, разница только в величине положительного показателя. Наш предыдущий эксперимент показал, что показатели для разных типов орбит отличаются существенно.
Вот как меняется максимальный показатель Ляпунова (LLE), вычисленный для различных траекторий при изменении энергии системы.
Теперь совершенно очевидно, что полюсы исключительно стабильны, инвариантные торы имеют очень малые значения максимального показателя Ляпунова, а хаос резко проявляется ростом максимального показателя.
Показатели Ляпунова имеют размерность, обратную времени или числу итераций для дискретного отображения. Это позволяет рассматривать их как характерную скорость забывания системой начального состояния или как темп потери информации в системе. Величина, обратная максимальному показателю Ляпунова, называется временем Ляпунова. Его можно вычислить для многих природных процессов, получая информацию о том в каких временных интервалах имеет смысл прогнозировать поведение системы, исходя из наблюдаемых параметров состояния. Так, например для Солнечной системы это время составляет 5 млн лет, а для погоды на Земле оно имеет порядок пары недель.
Как видим, наш прыгающий шарик способен забывать свои начальные условия всего лишь за 5–10 шагов.
Зависимость от точности вычислений
Мы рассматривали показатели Ляпунова как характеристики динамической системы и её траекторий или орбит. Но не являются ли они, в первую очередь, характеристиками вычислительных процессов, которые мы использовали для моделирования динамики нашей системы? Иными словами, не исследуем ли мы вместо системы метод Ньютона, с помощью которого вычисляются моменты соударений?
Действительно, размышляя о высокой чувствительности к начальным условиям, мы можем прийти к выводу, что в таких системах численный расчёт имеет мало смысла. Может быть источником хаоса в этой системе являются численные методы, дающие лишь хорошее, но конечное приближение к значениям функций, а также ограниченность числа разрядов, используемых при вычислениях?
Давайте сравним семейства орбит, вычисленные с использованием чисел с плавающей точкой различной разрядности.
Каждая орбита содержит по 10 000 точек. Видно, что при совсем уж низкой разрядности картина теряется, но уже с использованием 16 двоичных разрядов структура орбит принимает знакомые очертания. При дальнейшем повышении разрядности меняется только сам хаотический туман, но его границы остаются неизменными, и в нём сохраняется некая «тонкая структура» в виде островов порядка. Получается, что хаотические орбиты ожидаемо чувствительны к точности вычислений, однако остаются строго в своих границах. Самое же главное: переход от порядка к хаосу, сложная структура орбит и природа перемешивания, происходят не из‑за ошибок округления и полностью определяются непрерывным и гладким преобразованием и его свойствами.
Вот как меняется оценка максимального показателя Ляпунова при использовании разной точности вычислений.
Эти эксперименты показывают, что наша математическая модель вполне соответствует описываемому явлению.