Продолжаем знакомиться с количественными характеристиками динамического хаоса. Начало разговора и подробности возникновения хаоса вы можете найти в этой серии статей. Последним нашим достижением было построение красивой диаграммы Ляпунова, демонстрирующей сценарии перехода к хаосу.
Обсуждая эти сценарии, мы неоднократно использовали частотные характеристики траекторий и орбит: периоды неподвижных точек, числа вращения инвариантных торов и переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.
Всё эти вещи мы анализировали, работая в фазовом пространстве, которое практически не содержит временных зависимостей. Сейчас имеет смысл взглянуть на преобразования Фурье для временных рядов.
Как и с показателями Ляпунова, взглянем сначала на спектры отдельных типов траекторий: полюсов разных порядков, инвариантных торов и странного аттрактора.
Частоты в этих спектрах соответствуют числам вращения, именно их мы и видим в качестве пиков на спектрах. Полюс p⁵ ожидаемо представлен кратными пиками с частотами 1/5 и 2/5. Спектр инвариантного тора имеет не только пики около 1/4, но и целую "гребёнку" вторичных пиков, которая соответствует резонансу очень высокого порядка.
Спектр странного аттрактора сильно отличается от спектров регулярных орбит тем, что он сплошной, а не линейчатый и содержит все частоты от низких до высоких, приближаясь к шуму. Однако на фоне этого шума выделяются пики с частотами, имеющими небольшие знаменатели, которые соответствуют нескольким первым слоям дерева Штерна-Броко, (мы говорили об этом, рассуждая о резонансах). Интересно, насколько универсальны эти свойства странных аттракторов: сплошной спектр и наличие рациональных частот с малыми знаменателями?
Объединив спектры для отдельных траекторий, мы получим спектрограмму для всего семейства орбит системы при заданной энергии. Так что у нас появляется возможность взглянуть на все странные аттракторы для заданной энергии.
Первым делом, обратим внимание на то, как при малых энергиях формируются резонансы в точках пересечения линий, соответствующих числам вращения с небольшими знаменателями. Такую же картину можно наблюдать в геометрической демонстрации устройства дерева Штерна-Броко, которая называется диаграммой Фарея. Сравните левую половину этой диаграммы с основными частотами, выделяющимися на спектрах.
В левой половине этого дерева мы видим ровно те же дроби, что и на спектрограммах. Это не удивительно, поскольку структура резонансов в точности соответствует внутренней структуре множества рациональных чисел, которую отражает диаграмма Фарея. Об этом мы говорили в этой статье.
Вокруг резонансов на спектрограмме мы наблюдаем вторичную структуру: ярко выраженный пик резонанса, окружённый высокочастотными пиками инвариантных торов.
Что же происходит в хаотическом море? В размазанном шумном спектре выделяются тёмные полосы тех резонансов, которые породили этот странный аттрактор через разрушение гомоклинических орбит. Хаотическая орбита, блуждая по фазовому пространству, то и дело приближается к неподвижным точкам разного порядка и на какое-то время попадает в их ритм. Однако в прошлой статье мы заключили, что хаотическая орбита "забывает" о своём прошлом за ляпуновское время, которое в нашей системе составляет всего 5-10 шагов. Это значит, что в спектре странного аттрактора пиков с периодами больше 10 мы наблюдать уже не должны, поскольку настолько надолго задержаться в малой окрестности неподвижной точки хаотическая орбита не сможет.
В спектре странного аттрактора есть и низкие частоты и высокие. Первые появляются за счёт флуктуаций и перемешивания фазового пространства, а вторые — за счёт экспоненциального разбегания соседних точек. Сплошной спектр говорит о стохастичности аттрактора, который делает примерно равновероятным кратковременное наблюдение орбиты любого периода. Это отлично демонстрирует упоминавшийся несколько раз результат Смэйла, который показал, что странный аттрактор, рождённый разрушением гетероклинических многообразий, содержит бесконечное множество неподвижных точек самого разного порядка. Кроме того, каскад удвоения периода тоже приводит к появлению бесконечного набора частот в системе.