Основная волна профильного ЕГЭ по математике, которая проходила 1 июня 2023 года, ознаменовалась более сложными, чем в последние годы, заданиями 14 (неравенство) и 15 (экономическая задача). Я приведу в статье эти задания, а в дальнейшем, если эта тема вам интересна, опубликую подробные их решения и разборы. Также мы разберемся, действительно ли это были более сложные и нетипичные задания, или все-таки человеку, который хорошо проработал материал, а не освоил стандартные шаблоны решений, эти задания были "по зубам".
Во-первых, сразу обозначу: эта ситуация - не вымысел. На днях были опубликованы предварительные результаты ЕГЭ-2023:
Предварительный средний балл ЕГЭ по профильной математике в 2023 году - 55,62.
Сравните с результатом 2022 года.
Средний балл ЕГЭ по профильной математике в 2022 году - 56,9.
Да, снижение не такое большое. И дальше я объясню, почему.
Итак, давайте познакомимся с заданиями 14:
1. Решите неравенство:
2. Решите неравенство:
3. Решите неравенство:
4. Решите неравенство:
5. Решите неравенство:
6. Решите неравенство:
7. Решите неравенство:
8. Решите неравенство:
В чем же их сложность? Дело в том, что часть этих заданий решается эффективно методом рационализации. А в последние годы (2019-2022 гг.) на реальных ЕГЭ не практически не попадались такие неравенства. Но! В материалах прошлых лет этих неравенств навалом, в "официальных" сборниках вариантов их также очень много. Так что, формально вопросов к разрабочикам ЕГЭ нет: они не обязаны давать легкие неравенства на экзамене. А все перечисленные выше неравенства в рамках школьного курса (где-то углубленного, правда) решаются.
Экономические задачи (задания 15 ЕГЭ по математике)
Здесь приведены задания 15 с профильного ЕГЭ по математике 1 июня 2023 года (экономические задачи).
1. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше
долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
2. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
3. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 10 лет под 10% годовых. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в 2030 году долг составил 800 тыс. рублей;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на одну и ту же величину (но уже другую) меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.
Найдите сумму кредита, если общая сумма выплат составила 2090 тыс. рублей.
4. В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 800 тыс. руб.
— в январе начисляется 𝑟% по кредиту.
— с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму.
— в конце 2030 года долг составляет 200 тыс. руб.
— с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму.
— к 2035 году кредит должен быть выплачен.
Найдите 𝑟, если общая сумма выплат составила 1480 тыс. руб.
5. В июле 2025 взяли кредит на 10 лет на 700 тыс. руб.
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь в 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг уменьшается равномерно на какую то сумму;
— с февраля по июнь в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг уменьшается равномерно на другую сумму;
— к 2035 году кредит должен быть выплачен.
Какая выплата была в 2026 году, если общая сумма выплат составила 1420 тыс. руб.
6. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого из годов с 2026 по 2030 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года;
— в июле каждого из годов с 2031 по 2035 долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с июлем предыдущего года, отличную от суммы, на которую долг убывал в первые пять лет.
Известно, что в конце 2030 года долг составил 800 тысяч рублей. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
Я проанализировал все экономические задачи, которые встречались на ЕГЭ по математике. В основном их можно разделить на несколько типов: задачи на аннуитетный платеж, задачи на дифференцированный платеж и смешанные схемы. Также есть достаточно редко встречающиеся типы задач: задачи на оптимизацию, вклады, оптимальный выбор, задачи с параметром и некоторые другие. Данные задачи - разновидности задач на аннуитетный, дифференцированный и смешанный платежи. Довольно сложная разновидность, но вполне решаемая - если уметь выводить математические модели перечисленных видов задач. Если просто запомнить алгоритмы и формулы - эти задачи решить не получится. Что и требовалось доказать.
Надеюсь, разбор вам понравился? Тогда подписывайтесь на мой канал, оставляйте реакции ♥ к этой статье и пишите + в комментариях. Так я пойму, что материал вам интересен и размещу следующую подборку заданий)
