Ньютоновское искривление света Солнцем

Привет, друзья. Как нам всем хорошо известно, Общая теория относительности предсказывает отклонение лучей света вблизи Солнца,
причем почти ровно в два раза больше, чем теория Ньютона. В теории Ньютона там есть вопросы, которые мы обсудили в прошлой заметке,
так что давайте уточним: речь идет о классической задаче о траектории материальной точки, пролетающей мимо Солнца вблизи его поверхности со скоростью света. Тяготение Солнца — ньютоновское. Давайте прикинем, сколько же там получится угловых секунд и почему.

Синий шарик - Земля. Настоящая звезда - красная точка слева. Из-за искривления света мы видим красную точку справа. Угол, обозначенный зеленой дугой, вдвое больше угла, обозначенного малиновой.

Задача двух тел (Солнца и этой точки) имеет решение, описываемое законами Кеплера. В частности, тело движется по орбите,
которая является коническим сечением (кривой второго порядка): эллипсом, параболой или гиперболой.

У всех кривых второго порядка с общим фокусом одно и то же уравнение. Второй фокус эллипса с ростом эксцентриситета уезжает вдаль, у параболы уходит в бесконечность, у гиперболы как бы проходит через бесконечность, приезжая с другой стороны. С натяжкой, конечно, но это так. Кривые нарисованы от руки и реальным кривым не соответствуют.

В полярных координатах у них одно и то же уравнение. Мы запишем его так:

R/r = 1 - ε sinφ,

где R — радиус Солнца, r — полярный радиус, то есть расстояние от центра Солнца до нашей точки, φ — угол между некоторой выбранной осью и направление от Солнца к точке, ε — эксцентриситет: неотрицательное безразмерное число.

Синяя линия - это r. Тонкой синей дугой обозначен угол φ.

Если эксцентриситет равен нулю, то траектория — окружность; если меньше 1, то эллипс; при ε=1 это парабола, которая уходит в бесконечность при φ=π/2, ну а при бóльших значениях получается гипербола, которая уходит в бесконечность в двух направлениях (в которых sinφ=1/ε).

Эти направления — асимптоты — нас и интересуют. Увидев звезду, мы приняли свет от нее и определили направление, откуда он пришел;
это и есть асимптота, а на самом деле свет шел по гиперболе, и пришел с другого направления. Которое мы и увидели бы, не будь там Солнца.
Определить "истинное" положение звезд несложно, ну и этот эффект "линзирования" мы и обсуждаем.

Теперь небольшое упрощение: у нас эксцентриситет будет очень большой, поэтому синус равен маленькому числу, а раз так, то и угол φ (в радианах) примерно такой же. Это известный "замечательный предел" sin(x)/x→ 1 при x→ 0, то есть при малых х имеем sin(x) ~ х.

Итак, искомый угол попросту равен 2/ε. Двойка потому, что свет отклонился "два раза": мы видим звезду так, как если бы свет шел по асимптоте, а он шел по (почти) второй асимптоте, потом по гиперболе, потом опять (почти) по асимптоте и пришел к нам.

Чему же равен эксцентриситет?

Ясно, что он зависит от скорости тела. Если скорость в данной точке (на данном расстоянии от Солнца) равна первой космической v₁ (для данного расстояния), то ε=0 и орбита круговая.

Если же скорость равна второй космической, а она в √2 раза больше, то ε=1 и орбита уходит в бесконечность.

При этом эксцентриситет безразмерен, и потому определяется только отношением скоростей v/v₁. Можно взять это отношение в какой-то одной точке, например при φ=0 (вблизи Солнца).

Самое простое выражение, удовлетворяющее всему сказанному, это

(v/v₁)² - 1.

Ну и по принципу Ньютона ("Всевышний всегда выбирает самое простое из подходящих выражений") это и есть формула для эксцентриситета.
Поскольку эксцентриситет будет большой, единичкой можно (в нашем случае!) пренебречь.

У нашей материальной точки скорость равна скорости света: v=c=300 тыс. км/с. Осталось определить первую космическую скорость близ поверхности Солнца.

Вспомним, что ее квадрат равен GM/R, где G — гравитационная постоянная, M — масса Солнца, R — его радиус. Вспомним еще, что расстояние А от Земли до Солнца равно 8 световых минут, что мы округлим до 500 св.секунд, или 150 млн км.

А радиус Солнца, допустим, нам известен: 700 тыс. км. Его можно определить, зная угловой размер Солнца и расстояние до него.

Наша Земля движется почти по круговой орбите, то есть ее скорость — первая космическая. Но Земля проходит расстояние 2πА за год, то есть за (примерно) π∙10⁷ секунд. Делим и получаем 30 км/с.

Квадрат этой скорости равен 900 км²/с² и это GM/A, то есть GM=135∙10⁹км³/с². Делим на радиус Солнца и получаем чуть меньше 200 тысяч км²/с².

Квадратный корень из этой величины и есть первая космическая скорость на поверхности Солнца: v₁=450км/с (округляем немного). Делим скорость света на эту скорость и получаем v/v₁=666.666. Ну вот так, а вы себе что хотели?

Возводим это число в квадрат и получаем (приближенно) эксцентриситет: ε=444444. Ну хоть не шестерки. Обратное значение есть 2.25 миллионных: это и есть искомый угол φ.

Переходим из радиан в градусы, умножая на 180/π, примерно на 60, и в угловые секунды, умножая еще на 3600: φ=0.486.

Удваивая, получаем 0.972. Если учесть, что первая космическая скорость на Солнце чуть поменьше, 437км/с, и не округлять пи до трех, то получим
2/(300`000/437)²∙180/π∙3600 = 0.875".

Отличный результат! Несмотря не округления и упрощения, получили очень хорошую оценку. Теперь давайте проследим, что же в ОТО добавляет к этой величине почти столько же?

Когда мы решаем задачу Кеплера, мы приходим к уравнению для величины σ=1/r, обратной к полярному радиусу r (расстоянию от центра Солнца до нашей материальной точки):

σ'' + σ = Q.

Уравнение линейное неоднородное, неоднородность Q — константа. Решая линейную часть (без Q) получаем комбинацию синуса и косинуса, что можно записать в виде B sin(φ), правильно выбрав оси координат. Добавка из-за неоднородности будет тоже константой (равной -Q). Теперь уже один шаг до решения в том виде, как мы его записали выше:

R/r = 1 - εsinφ

Если решить задачу Шварцшильда в приближении слабого поля (а поле Солнца всё-таки считается слабым: то, что должно быть малым, малым является) и выписать уравнение для траектории в "полярных" координатах, то получится вот что. Для частиц с массой будет очень похожее уравнение, но нелинейное: там будет еще малое слагаемое с σ². Пренебрегая им, мы получим ньютоновское решение. Решить точно уравнение не получится: с нелинейными уравнениями вообще сложно с точными решениями. Но можно сделать приближение-линеаризацию, подставив вместо σ сумму найденного нами ньютоновского решения и неизвестной пока малой поправки и пренебрегая квадратом этой малой поправки. Получится линейное уравнение, но другое, с другой неоднородностью. Отсюда следует, в частности, решение задачи об орбите Меркурия.

А для света получается другое "ньютоновское" решение: с бесконечным эксцентриситетом. В подходящих осях это r sinφ = const, или y = const. Уравнение прямой линии. В полном соответствии с принципом Ферма!

Если же не пренебрегать поправкой, но линеаризовать ее, то получим уравнение того же вида и с тем же решением (гиперболой), с большим эксцентриситетом. Больше, чем у гиперболы, которую мы получили в ньютоновской задаче, надругавшись на принципом Ферма. Из него (этого решения) и получается вдвое большее уклонение света.

Связно, красиво, логично!