Закон Всемирного тяготения — отличная теория гравитации. Она прекрасно описывает множество явлений, но есть и недостатки конструктивного плана. Вот один я и хотел бы обсудить.
Итак, есть такой "принцип Ферма", согласно которому свет распространяется по кратчайшему пути. Кратчайшему в смысле времени, которое займет путь. В вакууме это прямая, так как скорость света в вакууме равна скорости света в вакууме, поэтому быстрейший путь совпадает с самым коротким — а это прямая.
Получается, что свет в пустоте никаким тяготением отклоняться не должен.
Принцип Ферма является частным случаем более общего принципа наименьшего действия, который вообще лежит в основе всей физики; поэтому отказ от него весьма нежелателен.
В Общей теории относительности свет распространяется вдоль светоподобных геодезических, то есть как раз вдоль "кратчайших" путей, но в искривленном пространстве-времени. Всё хорошо.
В классической же теории получается набор взаимоисключающих утверждений. Свет должен распространяться по прямым, но свет — это фотоны, частицы, которые должны падать, как любые другие частицы, с одним и тем же ускорением свободного падения.
Сила тяжести записывается как mg, и из третьего закона Ньютона получается ma=mg, или a=g. Ускорение у всех одинаковое и от массы не зависит.
Можно сделать болезненное исключение, заявив, что свет-де стоит особняком и на него это всё не распространяется...
Можно вспомнить, что фотоны массы не имеют: об этом каждая блондинка знает. Но, во-первых, уравнение a=g уже получилось и массы там нет. Если оно неверно для света, то нет непрерывности: при сколь угодно малом m формула верна, а при нулевом — нет. Это как если бы вписанные в окружность правильные многоугольники имели бы периметр всё ближе к 2пR, а окружность внезапно была бы нулевой длины. Ну или, в мягком варианте, длины 8R (например).
Так, кстати, бывает, но такие примеры, как правило, идут под именем парадоксов и контрпримеров. Так, ломаная со звеньями пол 45 градусов имеет всегда длину 2, тогда как отрезок, на котором она построена, имеет длину √2. В любом разумном смысле ломаные сходятся к отрезку: максимальное различие стремится к нулю ("норма в С"), в каждой точке различие стремится к нулю (поточечная сходимость), площадь под ломаной стремится к нулю (норма в L₁, или сходимость в среднем), сходится и в L₂, и почти всюду, и по мере. Но длина при предельном переходе не сохраняется.
С другой стороны, фотоны имеют энергию Е и импульс р. Их можно измерить, с энергией вообще все просто, достаточно лицо Солнцу подставить, а с импульсом нужны более тонкие опыты. Но импульс фотона по величине равен E/c. Это всё плохо вяжется с классическими формулами, так как в классике импульс точки по величине вдвое больше: равен 2E/v. Но тем не менее, вы можете взять энергию фотона и определить массу, или взять импульс и определить массу из него. В классике масса обязана присутствовать, так как иначе не получится ни ненулевого импульса, ни ненулевой энергии. А если масса есть, то и гравитация должна действовать как у всех, и привет принципу Ферма.
Можно сказать, что свет это свет, электромагнитная волна, и у него-де всё по-своему. Ладно, но в классике скорость света никакими привилегиями не обладает, и шарик с такой скоростью полетит не так, как свет. Шарик будет падать, а свет не будет — что нервирует. Но ведь это означает, что летящие сколь угодно близко к скорости света частицы с массой отклонятся, а свет нет, что вполне можно было бы наблюдать.
Причём отклонение света наблюдается! Мы сейчас не будем вдаваться в подробности, это для следующей заметки, но сам факт линзирования оспаривать трудно: после Эддингтона было множество замеров на затмениях, а есть ещё и астрономические наблюдения. Свет отклоняется гравитацией.
А это проблема для классики! Пространство пустое, принцип Ферма предписывает двигаться по прямым, а наблюдается иное. Наблюдения надежны, так что делать? Выкидывать принцип Ферма?
Усомниться в пустоте пространства не получится. Преломление света в среде приводит к дисперсии, известной как радуга. А гравитационное искривление действует на все длины волн одинаково.
В ОТО же, если посмотреть на решение Шварцшильда, получается вот что. Если совсем упростить, то получится некоторое уравнение, с параметром, который равен нулю для светоподобных траекторий и положителен для времени-подобных. Во втором случае решением окажется кривая второго порядка: эллипс, парабола или гипербола. Это решение Кеплера. Для света получается прямая: это решение Ферма.
Если же учесть нелинейное слагаемое, можно тоже приближенно (но учесть!), то эллипс перестанет быть таковым; из-за дополнительного маленького слагаемого в уравнении возникнет маленькое слагаемое в ответе, в результате чего решение становится непериодическим. Оно как бы поворачивает весь эллипс. Вот вам и прецессия перигелия Меркурия! (и не только его, конечно). Для света тоже возникнет такое слагаемое, но оно превратит прямую в гиперболу. Как именно это происходит, мы обсудим в следующей заметке.