Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю задачу по геометрии, которую в конце апреля 2023 года решали ученики 7-го класса одной из школ Ленинградской области.
Условие задачи:
В треугольнике АВС угол А равен 90°, угол В – 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что угол DBC равен 30°, DA = 4 см. Найти АС и расстояние от точки D до стороны ВС.
Решение:
В главе IV §1 п.32 учебника на странице 70 написано, что сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
В главе IV §3 п.35 учебника на странице 75 даются два свойства прямоугольных треугольников:
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
- Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Доказательство этих свойств приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно использовать эти свойства при решении задачи:
1) Поскольку сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, то в прямоугольном треугольнике АВС угол С равен:
90 – 60 = 30°.
2) Чтобы найти в прямоугольном треугольнике ABD величину угла ABD, надо из угла ABC вычесть угол DBC:
60 – 30 = 30°.
3) Поскольку катет AD прямоугольного треугольника ABD лежит напротив угла в 30°, длина гипотенузы BD в два раза больше четырёх сантиметров:
4 * 2 = 8 см длина BD.
4) В главе IV §2 п.33 учебника на странице 71 даётся теорема:
В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Одним из следствий этой теоремы является тот факт, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника)
Стороны BD и DC треугольника BDC равны между собой, так как лежат напротив углов в 30°, следовательно, треугольник BDC – равнобедренный и DC = 8 см.
5) Длина стороны АС равна DC + DA = 8 + 4 = 12 см.
6) В главе IV §4 п.38 учебника на странице 81 написано, что длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
Здесь же отмечается, что расстояние от точки до прямой равно наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой. Следовательно, расстояние от точки D до прямой BC – это перпендикуляр, проведённый из D к прямой BC.
Проведя высоту DE равнобедренного треугольника BDC мы получили прямоугольные треугольники BDE и DEC, у которых общий катет DE, лежащий напротив углов в 30°, следовательно, его длина в два раза короче каждой из гипотенуз:
8 : 2 = 4 см.
Ответ: длина AC – 12 см, расстояние от точки D до стороны ВС – 4 см.