Почему бублик и кружка с точки зрения топологии одинаковы? О науке топологии, её странностях и закономерностях рассказывает профессор кафедры компьютерной топологии и алгебры математического факультета ЧелГУ, академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор Сергей Матвеев.
«Топология – очень абстрактная наука. Когда спрашивают, к чему она применяется, отвечаю, что ко всему, но структуры, которые мы разрабатываем сейчас, приведут к практическим важным открытиям не сразу, а лет через 50. Но зато это будут великие открытия», – говорит Сергей Матвеев.
Что такое топология?
Топология — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности, свойства геометрических тел и множеств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях.
Непрерывная деформация — это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (нарушения целостности фигуры) или склеиваний (отождествления ее точек). Например, растяжение, сжатие, изгибание. Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры.
Примерами таких свойств являются свойства связности, ориентируемости, компактности. Топологию часто называют «геометрией на резиновом листе» или «резиновой геометрией».
Раздел математики, который сейчас называется топологией, берет своё начало с изучения геометрических задач. Источники указывают на первые топологические результаты в работах Лейбница и Эйлера, но сам термин впервые появился в 1847 году в работе Листинга.
Одна из знаменитых старинных задач топологии – о кенигсбергских мостах – была решена в 1736 году Л. Эйлером, он первый применил топологический подход к практической задаче.
В 1840 году А. Мебиусом была сформулирована «Проблема четырёх красок»: «Можно ли карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были окрашены разными цветами». Эта задача была решена только в 1976 году американскими математиками при использовании вычислительных машин.
Чем интересна топология?
Топология — сравнительно молодая математическая наука. И примерно за сто лет её существования достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует умения рассуждать и иметь запас знаний многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики. Фундамент этой науки, достаточно детально разработанный для пространства любого числа измерений, создал Анри Пуанкаре.
Известный математик Андре Вейль сказал, что за душу каждого математика борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры. Этим он подчеркнул необычайное изящество и красоту топологии. Вся современная математика представляет собой причудливое переплетение идей топологии и алгебры.
Почему бублик и кружка – топологически одинаковые вещи?
Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (типов деформации, происходящих без разрывов и склеиваний), своего рода качественная геометрия.
Давайте представим, что кружка состоит из мягкого материала, например, из глины. Непрерывно (ничего не разрывая, а только сминая) можно превратить кружку в бублик. Поэтому с топологической точки зрения кружка и бублик – это один и тот же объект.
Ещё одним примером топологического преобразования является пример расцепления пальцев топологического человека. Человек зацепил пальцы рук, но топология позволила разъединить руки. Лучше всего это проиллюстрировать на картинке.
В какой области применяется топология? И почему эта сфера важна для науки?
За последние годы идеи и методы топологии всё больше проникают в физику, химию и биологию. Например, топологические свойства замкнутых контуров и плёнок на проективной плоскости дают возможность проанализировать ряд вопросов, связанных с устойчивостью и слиянием дисклинаций (явлений дислокаций, вызванных нарушением осевой симметрии кристаллической решетки) и особых точек в оптически одноосном жидком кристалле.
Одна из ветвей топологии, теория узлов, нашла применение в биологии при расшифровке ДНК. Сейчас даже проводятся конференции, объединяющие топологов и биологов.
Обнаружены важные приложения топологии в механике к теории интегрируемых гамильтоновых систем.
«Ломоносов говорил: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит». Развитие интеллектуальных способностей человека приводит к тому, что он начинает хорошо ориентироваться и в других дисциплинах, там, где требуются эти же навыки. Фактически можно сказать, что математика – это основа человеческого интеллектуального потенциала или, как говорили древние – «царица наук». Топология в наши дни лежит в основании многих математических разделов, это обусловлено красотой топологических подходов к решениям задач как практики, так и теории,» – подвёл итог беседы профессор Матвеев.
Текст: ЧелГУ, Минобрнауки РФ
Фото: пресс-служба ЧелГУ, открытые источники
