Почему декартовы координатные оси перпендикулярны друг другу? Очередной дурацкий вопрос, который вызывает желание ответить: "Ну как это, почему? — по определению!"
В этой серии статей (часть 1, часть 2) мы с вами планомерно выводили удобные и полезные свойства прямого угла из одного единственного его свойства:
Прямой угол — это угол между всякой осью симметрии всякой прямой.
Свойство это, возможно, не кажется очевидным или фундаментальным, но, тем не менее, оно не требует никаких иных понятий, кроме эквивалентности и симметрии относительно движения, а именно они лежат в основе метрической геометрии.
Давайте сегодня придём из соображений симметрии к идее ортогональности векторов и ортогональных координат. А для начала, рассмотрим координатную прямую, то есть прямую с выделенной точкой и принадлежащим этой прямой единичным отрезком.
Этот мощный инструмент способен на очень многое: он позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на прямой. Причем это соответствие распространяется и на операции над числами: сравнение, упорядочение, сложение и умножение, так что симметриям прямой соответствуют различные фундаментальные свойства арифметических операций. Об этом я уже писал ранее:
Напомню, что такое глубокое соответствие двух структур называют изоморфизмом. Со времён великого Рене Декарта мы пользуемся изоморфизмом между координатной прямой и действительными числами, чтобы исчислять геометрию и видеть алгебру.
Теперь давайте погрузим координатную прямую в некое пространство, например, на плоскость. Плоскость тоже можно как-то преобразовывать: сдвигать, поворачивать, отражать, сминать и сворачивать, накладывая саму на себя. Большая часть этих действий, так или иначе, изменит выделенную нами координатную прямую. Некоторые из них, а именно, обратимые линейные преобразования (поворот, сдвиг, масштабирование, отражение и скашивание), по крайней мере, оставят её прямой, прочие же могут обойтись с ней ещё хуже: изогнуть или закрутить.
Среди линейных преобразований есть особые — те, что способны отобразить нашу координатную прямую в неë саму, оставив при этом неподвижной начало координат. К таким преобразованиям относятся 1) растяжение или сжатие вдоль прямой, а также 2) растяжение или сжатие вдоль любой из её осей симметрии.
Первый случай соответствует смене масштаба или умножению координат всех точек прямой на вещественное число, а во втором случае координатная прямая вовсе останется неизменной при любом таком преобразовании.
Координаты любой точки на плоскости можно определить, проведя две произвольные координатные прямые, имеющие одну и только одну общую точку, совпадающую с началами координат на обеих прямых. Угол между этими прямыми и длина их единичных отрезков могут быть произвольными, лишь бы они были отличны от нуля. Любые две нетривиальные оси позволяют однозначно указать координаты любой точки плоскости.
Однако линейные преобразования, всей плоскости, которые сохраняют начало координат и направления координатных осей, будут разными для каждой из них, так что растягивая пространство вдоль одной из них, мы неизбежно изменим наклон другой и координатная система изменится. И только если одна ось будет осью симметрии другой (и, как мы понимаем, наоборот) растяжения и сжатия одной из них никак не изменит другой: ни её направления, ни длины единичного отрезка. Эти две координатные системы оказываются линейно независимыми или ортогональными. В таких системах смена единиц измерения производится простым умножением координат на число, без необходимости компенсировать взаимные искажения осей поворотом или скашиванием.
Так и получается, что ортогональность координат геометрически означает взаимную перпендикулярность единичных отрезков в любой точке пространства. Эти рассуждения можно продолжить, добавляя пространству измерения и рассматривая симметрии плоскостей и гиперплоскостей, строя трёхмерную и многомерную координатную систему.
Основываясь на группе симметрии прямой, мы получили декартовы прямоугольные координаты. Если мы используем симметрии окружностей, то получим ортогональные полярные координаты. А если симметрия рассматриваемых задач более сложная, то есть возможность перейти к ортогональным эллиптическим, параболическим, сферическим и вообще, произвольным криволинейным ортогональным системам координат. Некоторые из них показаны на рисунке:
Полярные координаты (а), отражают симметрию окружности; параболические (b) — симметрию прямолинейного луча; биполярные координаты (с) — симетрию тора; (d) эллиптические (d) — симметрию круглой пластины. Такие системы координат используют в математической физике, в теории поля, теории упругости. А в функциональном анализе роль ортогональных координатных осей играют функции и пространства становятся бесконечномерными, но принцип построения этих систем остаётся таким же, как в геометрии, и основываются на скалярном произведении. Во всех этих случаях выбор и построение системы координат определяется симметрией пространства или решаемой задачи.
