Здравствуйте, уважаемые читатели. Вашему вниманию предоставляется решение 25 задачи из ОГЭ по математике на теорему синусов и косинусов.
Задача
Выполним построение рисунка и запишем условие задачи:
Решение
1) Поскольку нам нужно найти радиус окружности проходящей через точки М и N, то для решения возьмем теорему синусов, в которой имеется радиус описанной окружности.
У нас на рисунке нет треугольника, который был бы вписанный в эту окружность. Значит соединим точки M, N и К. Получим вписанный треугольник MNK, в котором нужно будет найти стороны и какой-то угол.
2) Так как нам первоначально известен косинус угла BAC, то воспользуемся теоремой косинусов для стороны КМ.
Для того чтобы найти отрезок КМ в треугольнике МNK, нам не известна сторона АК. Посмотрим, что нам известно. Мы знаем, что отрезок АМ=16, АN=39. Отрезок AN - секущая, AM - внешний отрезок секущей, АК-касательная.
Вспомним, как связаны между собой касательная и секущая:
Теперь можем найти сторону КМ треугольника MNK.
3) Найдем сторону KN. Рассмотрим треугольник АКN. Напротив стороны KN находится косинус угла ВАС. Стороны АК и АN уже известны. Поэтому воспользуемся теоремой косинусов для стороны КN
У нас получилось, что сторона КN равна стороне АК
4) Рассмотрим треугольник MNK. В треугольнике известны все стороны и косинус угла KNM равный косинусу угла KNA. Радиус описанной окружности можем найти только через теорему синусов, значит нам необходимо воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, чтобы найти синус угла KNM.
5) Найдем радиус описанной окружности по теореме синусов
У нас известна сторона МК и синус угла лежащий против этой стороны. Значит можно найти R
Вам понравился материал? Поблагодарить легко! Будем весьма признательны, если поделитесь этой статьей в социальных сетях, поставите лайк и подпишитесь на мой блог
