ЕГЭ 2023. Математика, профильный уровень, 2023 г. Задание 1 (1/2).

Всем привет, меня зовут Андрей, и это снова я!

Продолжаем решать задания из демонстрационного варианта ЕГЭ (математика, профильный уровень, 2023 г.).

Вот скриншот самого задания:

Задание 1 (1/2).

Нарисуем ситуацию, о которой говорится в задании:

Рисунок 1.

Данное задание можно решить, как минимум, двумя способами. Первый способ:

Треугольники ABC и DEC подобны (по двум сторонам и углу между ними), коэффициент подобия равен 2. Это значит, что отношение площадей этих треугольников будет равно квадрату коэффициента подобия, то есть площади треугольников будут относиться друг к другу в отношении 4:1. Это значит, что:

S (∆ABC) = 4 × S (∆DEC), откуда

S (∆DEC) = ¼ × S (∆ABC).

Итак, S (∆DEC) = ¼ × S (∆ABC) = ¼ × 24 = 6.

Можно эту же задачу решить также и другим способом. Добавим на чертеже две другие средние линии треугольника ABC, таким образом, треугольник ABC будет разделен на 4 треугольника, одинаковых по площади:

Рисунок 2.

Поскольку известно, что средняя линия треугольника, проходящая через середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине, можно дополнить рисунок, выделив равные стороны в каждом из получившихся треугольников:

Рисунок 3.

Поскольку все 4 маленьких треугольника не только равны между собой и имеют одинаковую площадь, а их суммарная площадь равна площади треугольника ABC и известна по условию, то можно площадь треугольника ABC разделить на 4 и получить ответ:

S (∆DEC) = (S(∆ABC)) / 4 = 24 / 4 = 6.

Ответ: 6.

Это нужно помнить: средняя линия любого треугольника, проходящая через середины двух его сторон, параллельна третьей стороне, а длина средней линии треугольника равна половине длины той стороны, которой она параллельна. Если построить все средние линии треугольника, то мы получим 4 треугольника, равных между собой и подобных исходному треугольнику, коэффициент подобия будет равен 2.

На этом пока все, подписывайтесь на мой канал, и до новых встреч!