Я живу на Камчатке. Предположим, на следующей неделе мне предстоит отправиться в Ханты-Мансийск, для участия в конференции. Для того чтобы попасть в Югру я сначала должен буду долететь от Петропавловска-Камчатского до Москвы, а потом — из Москвы до Ханты-Мансийска. Впрочем, если мне вздумается отправиться в Санкт-Петербург или в Сочи, в Самару или в Калининград, в общем, почти в любой регион, кроме Сибири и Дальнего Востока, я тоже должен буду сначала долететь до Москвы и уже потом оттуда добираться в точку назаначения. Пишу я об этом не для того, чтобы пожаловаться, я люблю летать, и в самолёте можно очень даже продуктивно провести время, я хочу рассказать о любопытном метрическом пространстве, которое образуют пути многих жителей нашей страны.
Упростим наши рассуждения, приняв существование единственной выделенной точки M, через которые ведут все без исключения пути, соединяющие любые две точки. Пусть расстояние d(A,B) между точками A и B в этом пространстве определяется временем кратчайшего пути от одной точке к другой (скорость перемещения примем одинаковой). Но так как все кратчайшие пути между любыми другими точками обязательно должны проходить через точку M, то d(A,B) = d(A,M) + d(M,B) для любых различных A и B. При этом d(A,A) должно быть равно 0 по определению. Как верно подметил в комментариях Андрей, если A=B, и если все расстояния вычисляются только через точку M, то d(A,B)=2d(A,M)≠0.
Давайте проверим, что это расстояние является метрикой.
- Оно всегда неотрицательно. ✓
- Оно равно нулю, тогда и только тогда, когда две точки совпадают (по определению). ✓
- Оно симметрично: расстояние от одного города до другого не зависит от направления движения. ✓
Выполняется правило треугольника.
d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B)
d(A,M) + d(M,B) ≤ d(A,M) + d(M,C) + d(C,M) + d(M,B)
- 0 ≤ d(M,C) + d(C,M) = 0 ✓
Ну, что же, все четыре теста пройдены, поздравляю, сидя в самолёте, мы путешествуем в метрическом пространстве! Это необычное метрическое пространство называется почтовой метрикой (Post office metric) или метрикой британской железной дороги и используется при рассчёте расстояний в логистике.
Любители математики, как правило, искушены в рассуждениях о необычных метриках, и знают, что оказавшись в новом метрическом пространстве, нужно сразу же выяснить, как выглядят в них окружности, круги и отрезки.
Итак, что же собой представляют множества точек, равноудалённых от заданной точки в нашем пространстве?
Для начала, рассмотрим окружности с центром в точке M. Они будут выглядеть, как "нормальные" концентрические окружности. Но для других центров окружности существуют не всегда. Например, если центром окружности будет точка A, находящаяся на расстоянии R от центра мира M, окружности с радиусом меньшим чем R не существует. Применительно к Камчатке, это значит, что я не смогу попасть ни в один из городов центральной части страны, преодолев меньше 7500 км — расстояния до Москвы. Для радиусов r > d(A,M), окружности будут совпадать с окружностями радиусом r – R, построенными вокруг точки M.
Первое занятное наблюдение: окружность с центром в точке A радиусом d(A,M) содержит одну единственную точку — M.
Вторая странность: окружность с ненулевым радиусом может содержать свой центр, если её радиус будет равен 2d(A,M).
Но самое удивительное свойство этого метрического пространства, ради которого я и взялся писать эту заметку, состоит в том, что круг меньшего радиуса может целиком содержать в себе круг большего радиуса. Рассмотрим круг с центром в Петропавловске-Камчатском и радиусом в 8000 км. Так как расстояние до Москвы составляет 7500 км, он совпадает с кругом радиусом 500 км с центром в Москве. Это круг целиком содержится в кругах куда меньших радиусов с центрами, например, в Ярославле, Калиниграде или Архангельске!
Наконец, можно вспомнить, что в одной из предыдущих заметок мы изучали множества точек, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, используя евклидову метрику и различные топологии. В почтовой метрике с равноудалёнными точками нет никаких проблем: все точки на окружности являются равноудалёнными не только от её центра, но и друг от друга.