Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые сорок две части:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь;
26. Кружковская задача 13;
27. Великая комбинаторика;
28. Дискретная непрерывность;
29. Кружковская задача 14;
30. Кружковская задача 15;
31. Ханойская башня;
32. Кружковская задача 16;
33. Кружковская задача 17;
34. Проценты;
35. Кружковская задача 18;
36. Кружковская задача 19;
37. Незадача;
38. Кружковская задача 20;
39. Кружковская задача 21;
40. Логика должна быть логичной;
41. Комбинаторика в школе;
42. Графы в школе.
В предыдущей части я упомянул три классических задачи кружка первого года, которые знакомят школьников с понятием графа.
Задачи
- В стране из любого города выходит по три дороги. Может ли в ней быть 2021 дорога?
- На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь 3, 5 или 7 закрашенных соседей?
- В стране 239 городов и любые два соединены дорогой. Сколько всего дорог в стране?
Решения
- Число концов дорог равно 4042, потому что каждая дорога имеет два конца. При этом число концов дорог должно быть в 3 раза больше количества городов, но 4042 не делится на 3.
- Посчитаем количество пар закрашенных соседних клеток. Если у каждой закрашенной клетки 3, 5 или 7 соседей, то и сумма 25 нечётных чисел окажется нечётной - однако, каждую пару соседей мы посчитали два раза (с каждой из соседних клеток), поэтому эта сумма должна быть чётной.
- Из каждого города выходит по 238 дорог, поэтому концов дорог всего 239*238=56 882, а дорог в 2 раза меньше, поскольку у каждой дороги по два конца: 56 882:2=28 441.
Комментарии
Последняя задача - подсчёт количества рёбер в полном графе. Вторая - лемма о рукопожатиях (причём сам граф, рассматриваемый в задаче, совсем не очевиден по условию). Первая задача тоже про подсчёт суммы степеней вершин двумя способами. Самостоятельно решив подобные задачи, школьники гораздо лучше воспринимают теоретический материал.
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.
