Понятие пропорциональных отрезков, как ясно из названия, тесно связано с самим понятием пропорциональности.
Определение пропорциональных отрезков рассмотрим на примере.
Пусть отношение отрезков АВ/CD = 4/3 = А1В1/С1D1, тогда получим пропорцию:
Тогда, по свойству пропорции, можно составить равенство:
Говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам А1В1 и С1D1.
Теорема о пропорциональных отрезках
Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла соответственно пропорциональны отрезкам, образованным на другой стороне угла.
Доказательство (приведено в учебнике Якира):
Доказательство будет рассмотрено для частного случая, однако может быть применено и для доказательства пропорциональности других отрезков. Так можно доказать, что
Пусть существует такой отрезок l, который укладывается целое число раз в каждом из отрезков ОА и АВ.
Заметим, что такой отрезок существует не всегда, поскольку длины отрезков ОА и АВ не всегда имеют общий делитель. Например: ОА=6, АВ=6,5. Тогда не существует числа, на которое нацело поделится каждая из этих длин. А если, например, длины отрезков сами являются целыми числами, то существует. Как минимум, один отрезок, который укладывается в них целое число раз. Это отрезок длины 1.
Пусть отрезок l «вмещается» в отрезок ОА m раз, а в отрезок АВ – n раз. Тогда:
Разделим стороны угла ОМ и ON на отрезки длины l,проведя через них параллельные прямые (на рисунке указаны красным). Тогда в ОА их «поместиться» m штук, а в отрезке АВ – n штук.
По теореме Фалеса сторона угла ОN также разделится на пропорциональные отрезки, и отрезок ОА1 разделится, как и отрезок ОА, на m отрезков, но уже с другой длиной l1, а отрезок А1В1 также разделится на n отрезков длиной l1.
Составим пропорцию:
Сократим множители l и l1, и получим равенство:
Теорема доказана.
В статье использовалась литература:
Мерзляк А. Г., геометрия, учебник для 8 класса общеобразовательных учебных заведений
Поблагодарить автора можно посредством лайка) и доброго комментария, а также подписки на канал!