Теорема Фалеса о равных отрезках, образуемых параллельными прямыми на сторонах угла, вводится в курс геометрии в 8 классе. Несмотря на свою простоту, для ее доказательства требуется знать теорию, связанную со средними линиями как треугольника, так и трапеции. Приведенное ниже доказательство рассматривается в учебнике Якира.
Теорема Фалеса.
Если параллельные прямые, пересекающие сторону угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Для доказательства нам понадобится вспомнить свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции, а именно, что средние линии всегда параллельны основаниям.
Доказательство теоремы Фалеса
Доказательство будет основано на аксиоме о том, что не существует двух прямых, параллельных третьей прямой и, при этом, проходящих через одну данную точку.
1) Докажем, что А1В1 – есть средняя линия треугольника А2ОВ2. Таким образом мы докажем, что точка В1 – это середина отрезка ОВ2 и, следовательно, ОВ1=В1В2.
Предположим, что серединой отрезка ОВ2 является точка С1, отличная от точки В1. Тогда отрезок А1С1 – это средняя линия треугольника А2ОВ2 (то, что А1 середина отрезка ОА2 известно из условия). Тогда отрезок А1С1 будет параллелен отрезку А2В2 (по свойству средней линии, которая параллельна основанию треугольника). Однако отрезок, параллельный отрезку А2В2, проходящий через точку А2, уже существует – это, по условию, отрезок А1В1 и по аксиоме второго такого отрезка быть не может. Значит, мы получили противоречие, следовательно, серединой отрезка ОВ2 является точка В1.
2) Теперь докажем, что точка В2 является серединой отрезка В1В3. Для этого рассмотрим трапецию А3А1В1В3 и построим в ней среднюю линию.
Как и в пункте 1) предположим, что точка В2 не является серединой отрезка В1В2, а серединой этого отрезка является другая точка, назовем ее точка С2. Тогда отрезок В2С2 будет средней линией трапеции А3А1В1В3, т.к., по условию, А1А2=А2А3 и В1С2=С2В3. Поэтому отрезок В2С2 будет параллелен отрезку А3В3.
И здесь мы приходим к противоречию, поскольку отрезок, параллельный отрезку А2В3 уже существует – это отрезок А2В2. Таким образом, мы снова приходим к противоречию, а значит серединой отрезка В1В3 является точка В2. Следовательно, В1В2=В2В3.
3) Теперь соберем вместе то, что мы выяснили в 1) и во 2) пунктах:
ОВ1=В1В2 (из 1))
В1В2=В2В3 (из 2))
Объединив первое и второе равенства, получим ОВ1=В1В2=В2В3.
Аналогично, можно доказать для любых отрезков ВnВn+1=Bn+1Bn+2. ЧТД
В общем, можно сказать, что параллельные прямые, отсекающие на одной стороне угла равные отрезки, образую на другой стороне отрезки, пропорциональные данным. Действительно, поскольку отрезки ОА1 и А1А2 равны, то есть их отношение 1:1. То же самое отношение имеют отрезки ОВ1 и В1В2, поскольку они тоже равны.
Если две пары отрезков попарно находятся в одинаковом отношении, то их называют пропорциональными. Например:
С теоремой Фалеса связана теорема о пропорциональных отрезках:
Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла соответственно пропорциональны отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.
Еще немного геометрии из 8 класса:
Поблагодарить автора можно посредством лайка) и доброго комментария!