Площадь многоугольника. Разбор задач

Для успешного написания контрольной работы по геометрии по теме «Площадь» необходимо знать и уметь следующее:

а) Основные формулы вычисления площадей многоугольников – треугольника, параллелограмма (в т. ч. ромба), трапеции.

б) Уметь увидеть на чертеже, построенному по условию задачи, прямоугольный или равнобедренный треугольник.

в) Следует из пункта б): уметь находить третью сторону прямоугольного треугольника, зная две друге стороны. Иначе говоря, уметь пользоваться теоремой Пифагора.

Рассмотрим задачи из контрольных работ, составленных по учебнику Атанасяна.

1. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3^sqrt(2), угол К равен 45 градусов, а высота СН делит основание АК пополам. Найти площадь трапеции.

Решение:

Прежде чем приступать к решению заметим, что

1)НК=СН (т.к. угол К=45 градусов) = АН (т.к. СН делит АК пополам)=ВС.

2) АК=2НК

Собственно, это все, что нам нужно было заметить в условии этой задачи. Далее остается лишь подставить уже известные значения в формулу площади трапеции:

2. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ED = 5 см, BE = 12 см, BD = 13 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Заметим, что в этой задаче нам даны стороны, но не даны углы. Это значит, что мы должны обратить внимание на соотношение сторон, которое может указывать или на равнобедренный, или на прямоугольный треугольник.

1. Запишем формулу площади параллелограмма, чтобы знать, какие данные нам нужны для ее вычисления:

2. В параллелограмме АВСD проведены два отрезка, которые, теоретически, могут быть высотами. Проверим это.

Итак, нам известны все три стороны треугольника EBD, значит, мы можем узнать, является ли он прямоугольным.

По теореме Пифагора треугольник ВЕD прямоугольный

Следовательно, ∆EBD прямоугольный, а ВЕ – перпендикуляр к AD.

3. Таким образом, площадь параллелограмма АВСD можно вычислить по формуле:

3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ = 12 см, BE = 9 см, АК = 10 см. Найдите АС.

Решение:

Рассмотрим сторону АС как сторону прямоугольного треугольника АСЕ и найдем ее по теореме Пифагора.

1. Чтобы найти АС, нужно знать АЕ, а чтобы знать АЕ – нужно знать АВ. Найдем АВ из формулы площади

2. Найдем ВС из треугольника ВСЕ:

3. Подставим в формулу (1):

4. Найдем АЕ и вычислим АС из треугольника АЕС:

АЕ=АВ-ВЕ=12,5-9=3,5

5. Вычислим АС:

Дорогой читатель, если материал был для Вас интересен и полезен, поставьте лайк и подпишитесь на канал. Такая обратная связь мотивирует автора на создание новых уроков)