Предыдущие статьи на тему отрицательных чисел можно найти по ссылкам:
Полный перечень всех статей, опубликованных на канале: «Перечень статей на канале».
Материал, изложенный в этой статье, содержится в видео «Отрицательные числа. Часть 4».
Это заключительная часть рассказа об отрицательных числах. Пришло время поговорить об умножении и делении отрицательных чисел. Вспоминаем.
Умножение — это сложение одного и того же числа несколько раз. Один сомножитель — это число, которое складываем. Второй — это сколько раз складываем первый сомножитель. Сомножители можно менять местами, произведение не изменится.
Сомножители могут быть не только целыми числами, но и десятичными или простыми дробями. Чему равно выражение 1,5 умножить на 7 в терминах числовой оси? Мы должны 7 раз отложить отрезок длиной полторы единицы. Стартуем из точки 0, попадаем в точку 10,5. Всё верно. 1,5 умножить на 7 равно 10,5.
Меняем сомножители местами. Теперь мы работаем с отрезком в семь единиц и откладываем его полтора раза. 7 и еще половинка от 7, то есть 3,5. Мы снова в точке 10,5, всё как и должно быть.
А что будет если в произведении участвует отрицательное число. Начнем с целых чисел.
Вычислим выражение: отрицательное число -2 умножить на 3. Понятно, что надо просуммировать число -2 три раза. Еще раз напомню, умножение — это просто сокращенная запись операции сложения одного и того же числа. При сложении трех чисел минус два получим минус шесть.
Как это выглядит на числовой оси? Мы три раза отложили на числовой оси отрезок длиной две единицы в направлении, противоположном положительному направлению оси.
Вспоминаем статью «Отрицательные числа. Сравнение. Модуль числа». Модуль отрицательного числа — это длина отрезка на числовой оси от нуля до точки расположения этого числа. Другими словами, мы взяли отрезок, равный модулю того числа, которое суммируем, и отложили этот отрезок влево от нуля необходимое количество раз. Как это записать математическим выражением?
Минус два умножить на три — это произведение модуля числа минус два и числа три, которому присвоили знак минус. Думаю, знак минус у результата произведения никаких возражений не вызывает, ведь мы складывали три отрицательных числа, а сумма отрицательных чисел всегда отрицательное число. Припомните правила знаков.
А теперь заменим модуль числа на его значение. Модуль отрицательного числа — это само число без знака минус. Мы получаем в скобках шесть, а после раскрытия скобок — минус шесть. Конечно, мы можем не записывать все эти промежуточные выражения и сразу сказать: «-2 умножить на 3 равно -6».
А теперь после замены модуля числа |-2| на число 2 перед вычислением произведения поменяем сомножители местами. Для положительных чисел это обычная операция. И раскроем скобки, не подставляя окончательный результат произведения. Получим, -2 умножить на 3 равно -3 умножить на 2. Действительно, если число -3 сложить два раза, получим -6. На числовой оси это выглядит как откладывание двух отрезков длиной три единицы влево от нуля.
И мы снова можем записать -3 умножить на 2, это результат произведения модуля числа |-3| и числа 2. И всё это со знаком минус. Заметили? Оба раза второй сомножитель был положительным, потому что он отвечает за количество сложений числа.
А если второй сомножитель меньше нуля? Что такое 2 умножить на -3? По сути произведения это означает, что число 2 нужно сложить минус 3 раза. Но как можно суммировать отрицательное количество раз?
С определенными оговорками можно. Во всех предыдущих частях моего рассказа я неоднократно упоминал, что знак минус — это в том числе признак противоположности процесса, а в случае действия — противоположности действия. Поэтому суммировать отрицательное число раз нельзя, но можно сделать противоположное действие, то есть вычесть определенное число раз.
При таком подходе действие: число 2 сложить -3 раза надо рассматривать как положительное число два вычесть три раза. Количество раз сохранилось, а действие поменялось на противоположное. Вместо сложения — вычитание. Тогда всё просто. Мы снова повторяем -2 три раза, только если в предыдущем случае мы складывали отрицательное число -2 три раза, сейчас мы вычитаем положительное число 2 три раза.
Подытоживая, -2 умножить на 3 равно 3 умножить на -2, что, в свою очередь, равно 2 умножить на -3 или -3 умножить на 2. Как видите, сомножители можно менять местами, да и знак минус можно ставить в каждой паре у любого сомножителя. Результат от этого не меняется и равен -6.
А если у каждого положительного числа в этих выражениях поставить плюс, то мы увидим уже знакомое нам по операциям сложения и вычитания правило знаков. Произведение в любом порядке двух чисел, одно из которых отрицательное, а другое положительное, дает отрицательное число. Проще говоря, минус на плюс или плюс на минус, в результате минус. Минус снова победил.
А что будет, если в умножении участвуют два отрицательных числа? Число -2 умножить на -3. Читайте внимательно. Число -2 нужно сложить -3 раза. Или, устраняя отрицательное действие, число -2 надо вычесть три раза.
Число -(-2) — это положительное число 2. То есть мы три раза суммируем число 2. Получаем положительное число 6. И снова работает правило знаков. Минус на минус дает плюс. Минус побеждает даже сам себя и превращается в плюс.
Естественно, что -3 умножить на -2 тоже шесть. Только в этом случае -(-3) — это положительное число 3, которое суммируем два раза. Снова шесть.
А теперь определение. Произведение любых двух чисел — это произведение абсолютных величин этих чисел, а знак результата определяется по правилу знаков. Когда плюс на плюс — это плюс, минус на плюс или плюс на минус — это минус, ну а минус на минус — это плюс.
Как быть, когда в произведении участвует более двух сомножителей? Результатом будет произведение абсолютных величин всех сомножителей, а знак результата определится от последовательного приведения знаков всех сомножителей к одному знаку в соответствии с известным нам правилом.
Полезный совет. Поскольку любое отрицательное число можно представить как произведение минус единицы и абсолютного значения этого числа, мы можем любую цепочку сомножителей, состоящую из положительных и отрицательных чисел, путем несложных преобразований привести к виду, когда впереди будут собраны все отрицательные единицы, а остальные сомножители будут положительными.
В этом случае по правилу знаков легко определить окончательный знак результата. Понятно, что если число минус единиц будет четным, результат — положительное число, если нечетным — отрицательное. Эту операцию не обязательно проделывать на бумаге. Можно посчитать количество минусов в цепочке сомножителей в уме и определить знак результата.
Операция умножения, в которой присутствуют дробные отрицательные числа, ничем не отличается от умножения дробных положительных чисел. Замените отрицательные числа на произведение минус единицы и абсолютной величины отрицательного числа, и вы получите произведение дробных положительных чисел и умножение на некоторое количество минус единиц. Недаром в определении произведения звучало «произведение любых двух чисел».
Поговорим об операции деления для отрицательных чисел. Напомню, деление — это операция, противоположная умножению. Поэтому при попытке понять, как противоположное действие (это я про минус у отрицательного числа) влияет на противоположную операцию (это я про деление), мы точно запутаемся. В этом случае лучше всего подойти формально.
Напомню, если произведение a и b разделить на c, результатом будет a умножить на частное от деления b на c или частное от деления a на c умножить на b.
Начнем с отрицательного числа в числителе, по-другому делимого. Чему равно -8,4 разделить на 2,4? Представим -8,4 в виде произведения -1 и 8,4. Определим результат деления одного положительного числа на другое положительное число. Получим 3,5. Имеем: -1 умножить на 3,5. Результат -3,5.
Еще одно напоминание. Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, результат не изменится.
Рассмотрим случай, когда отрицательным числом является знаменатель, по-другому делитель. Какой результат у выражения: 8,4 разделить на -2,4. Числитель и знаменатель умножим на -1. Приходим к тому же результату, что и в предыдущем случае.
И, наконец, -8,4 разделить на -2,4. Ничего нового. Снова умножим числитель и знаменатель на -1. Получим операцию деления двух положительных чисел. Результат 3,5.
Получается, что частное от деления любых двух чисел — это результат деления абсолютных величин делимого и делителя, а знак результата определяется в соответствии всё с теми же правилами знаков.
Ну и понятно, что в случае целой цепочки операций деления вы последовательно проводите операцию деления абсолютных величин чисел, а знак всего выражения определится: при чётном количестве знаков минус как плюс, а при нечётном как минус. Вот и всё.
На этом рассказ об отрицательных числах закончен. Удачи вам, дерзайте.