Предыдущие статьи на тему отрицательных чисел можно найти по ссылкам:
Полный перечень всех статей, опубликованных на канале: «Перечень статей на канале».
Материал, изложенный в этой статье, содержится в видео «Отрицательные числа. Часть 3».
Сегодня поговорим о сравнении отрицательных чисел между собой. Как мы определяем, какое из двух отрицательных чисел больше?
При сравнении целых положительных чисел никаких трудностей не возникает. Мы понимаем, что семь предметов больше трех.
Чуть сложнее сравнивать дробные числа. Сначала сравниваем целые части. Если одна из них больше, значит, это число больше.
А если целые части чисел равны, мы последовательно перебираем сначала десятичные части этих чисел, потом их сотые части, потом тысячные. Каждый раз мы сравниваем, у какого числа эти дробные разряды больше, чтобы определить, какое число больше.
А для простых дробей при равенстве целых частей надо сначала привести дробные части к общему знаменателю и только потом сравнивать их по числителям.
Как сформулировать общее правило для всех этих ситуаций? Очень просто.
Если разность двух чисел — положительное число, значит, уменьшаемое больше. Если в результате отрицательное число, то вычитаемое больше. Естественно, если получится ноль, числа равны. Ясно и лаконично.
Как это выглядит на числовой оси? Восемь больше трех. Потому что восемь минус три равно пять.
А три меньше восьми, потому что три минус восемь — минус пять. Но это было понятно без всяких операций вычитания.
А как насчет сравнения -3 и -8? Вычтем из отрицательного числа -3 отрицательное число -8. Вспоминаем правило: минус и минус дают плюс. Минус три плюс восемь — это пять. Значит, -3 больше -8.
А если сравнить, как я обещал в предыдущей статье, отрицательное число -6,19 и отрицательное число -6. Из первого числа вычтем второе, получим -0,19. Значит, вычитаемое -6 больше, чем уменьшаемое -6,19.
А можно поступить еще проще. Никакого вычитания. Вы заметили, что большее число всегда находится правее меньшего. Поэтому числовая ось дает нам очень простой способ сравнения.
Из нескольких чисел самое большое то, которое располагается правее всех остальных на числовой оси.
И все-таки, согласитесь, очень трудно принять, что -10 меньше, чем -1. Почему? Да хотя бы потому, что если мы будем перемещаться в кабинке по подвесной дороге из точки -10 в пограничную точку 0, мы проедем расстояние в 10 единиц, а если то же самое сделаем из точки -1, кабинка сдвинется всего на одну единицу. А расстояние в 10 единиц точно больше расстояния в одну единицу. И не просто больше, а больше в 10 раз.
Чушь какая-то. Поэтому людям пришлось придумать еще одно понятие — модуль числа или абсолютная величина числа. Можно говорить и так, и так. Обозначается двумя вертикальными черточками слева и справа от числа.
Модуль числа — это расстояние на числовой оси от нуля до точки размещения числа. Хотя более строгое определение: модуль — это само число без какого-либо знака.
Модуль десяти — десять, модуль минус десяти — тоже десять. И теперь никакого противоречия нет. Действительно, -10 меньше, чем -1, но модуль |-10| больше, чем модуль |-1|, то есть расстояние от -10 до ноля больше, чем от ноля до -1.
Есть еще одно полезное свойство модуля. Модуль от разности любых двух чисел равен расстоянию между точками расположения этих чисел на числовой оси. Проверим.
Расстояние между -7 и 4. Вычтем из минус семь четыре. Результат: минус одиннадцать. Модуль минус одиннадцати — это одиннадцать. Подсчитаем расстояние. Действительно, одиннадцать единиц.
А если из 4 вычесть -7, получаем 11. Видите, неважно, какое число из какого вычитать, абсолютная величина результата одна и та же. И это логично, ведь расстояние между двумя точками числовой оси всегда одно и то же.
А если оба числа будут одного знака? Оба числа отрицательные или оба положительные.
Модуль разности -8 и -3 равен 5. А расстояние между этими двумя числами тоже пять единиц. Можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, модуль разности всё равно будет пять.
Аналогично, модуль разности двух положительных чисел 2 и 4 в любой из двух комбинаций дает результат 2. И расстояние между точками расположения этих чисел тоже равно две единицы.
А если в качестве одного из чисел выступит 0, то мы как раз и получаем расстояние от 0 до точки размещения числа на оси.
Покатаемся по нашей канатной дороге. Из точки 0 отправимся в точку -11, затем в точку 3, а потом прокатимся до точки -9. Какое расстояние мы проехали? Если брать от старта до финиша, всего девять единиц.
Если сложить все наши перемещения, одиннадцать единиц влево, четырнадцать вправо и двенадцать снова влево, получим -9. А на самом деле расстояние равно 37 единиц. Потому что необходимо складывать пройденное расстояние, которое не может быть отрицательным.
В первом случае расстояние 11 единиц, это модуль разности 0 и -11, второе перемещение — модуль от разности -11 и 3, это 14. И последняя поездка дает 12 единиц. Это разность 3 и -9. Итого 37 единиц.
На сегодня, пожалуй, всё. В следующий раз вернемся к разговору о правилах замены подряд идущих знаков, когда их может быть сколь угодно много. А потом перейдем к умножению и делению отрицательных чисел.
Удачи вам. Дерзайте.