Данная статья является текстовой версией опубликованного на этом же канале видео.
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Поговорим об отрицательных числах. Для полного понимания начнем издалека. Когда мы учимся считать, то сразу используем операцию сложения. Мы каждый раз к результату прибавляем единицу. Ничего нет плюс один — это единица, к единице прибавить один — два, к двум прибавить единицу — это три. И так далее.
Мы начинаем считать, используя какие-то предметы. Счетные палочки, кубики, картинки с яблоками. На этом этапе каждое число является для нас предметным — количество друзей, количество конфет. Затем мы переходим к сложению больших чисел — двузначных или даже трехзначных. И в этот момент числа становятся просто числами. Мы уже не задумываемся над тем, какие предметы мы складываем между собой.
А когда мы узнаем, как можно быстро суммировать одно и то же число с помощью таблицы умножения, то учим эту таблицу, напрочь забыв про всякие счетные палочки и кубики. То есть мы используем числа, не привязываясь к конкретным предметам, но при этом всегда знаем, что за числами есть что-то конкретное. Количество кирпичей для постройки дома, расстояние в метрах от дома до магазина или школы, сколько часов и минут прошло с момента завтрака.
В жизни устроено так, что день сменяет ночь, после зимы обязательно наступит лето, можно взобраться на холм, а можно с него скатиться. Это я так витиевато подвожу к операции вычитания. Не знаю, как вы изучали вычитание, скажу, как это должно быть. Операция вычитания — это действие, обратное сложению. Это очень важно понять. Не было бы сложения, не было бы счета. Не было бы счета, не было бы чисел. Поэтому сложение первично. В паре сложения и вычитания главное понятие — сложение.
А что такое вычитание? Операция вычитания — это действие, когда мы по известной сумме и одному слагаемому находим второе слагаемое.
Пример. Семнадцать минус девять означает, что надо найти такое число, которое в сумме с вычитаемым числом девять даст результат, равный уменьшаемому числу семнадцать.
Понятно, что это восемь. Но верно и обратное. Насколько надо уменьшить семнадцать, чтобы в результате было восемь.
Мы снова ищем такое слагаемое, которое в сумме с числом восемь дает семнадцать, это девять.
Подсказка. Как вы заметили, знак минус мысленно меняем на знак равно. Знак равно, опять же мысленно, меняем на знак плюс и после этого ищем недостающее слагаемое.
У операции сложения никаких ограничений нет, мы можем складывать как целые, так и дробные числа, как очень большие, так и очень маленькие. Это я для простоты изложения использую целые, не очень большие числа. А вообще-то никаких пределов для операции сложения нет, ведь мы знаем, что числовой ряд бесконечен. А как обстоит дело с операцией вычитания?
Как вы заметили, в предыдущем примере уменьшаемое число было больше вычитаемого. А что будет, если эти числа будут равны или вычитаемое будет больше уменьшаемого? При равенстве уменьшаемого и вычитаемого результат ноль, то есть ничего не остается.
А теперь из 23 вычтем 29. Идем по накатанной, меняем минус на равно, равно на плюс. И что? В каком случае мы получим истинное выражение? Давайте рассуждать. Левая часть равенства меньше, чем одно из слагаемых справа. Значит, известную правую часть равенства надо уменьшить так, чтобы в результате получилось 23.
Вычесть нужно число шесть. 23 равно 29 минус 6. Как же так? Я только что рассказывал, что должно быть 29 плюс какое-то число, а в результате мы имеем 29 минус 6.
А вот теперь представьте, что есть число минус шесть. Минус — это не операция вычитания. Минус — это свойство числа. Что это за зверь такой — минус шесть, я объясню позже. А сейчас примите как данность, что есть число минус шесть.
Тогда мы можем записать двадцать девять плюс число минус шесть. Я взял это число в скобки, чтобы отделить знак математической операции сложения и знак минус у отрицательного числа шесть.
Тогда наше исходное выражение запишется как двадцать три минус двадцать девять равно минус шесть.
Смотрите, как только появляются отрицательные числа, так сразу в операции вычитания пропадают все ограничения, и мы можем из меньшего числа вычитать большее. Операция вычитания становится пусть и вторичной, но полноправной математической операцией.
А вот теперь и поговорим об отрицательных числах. Представить их в виде каких-то предметов невозможно. Счетные палочки и кубики не помогут. Все те числа, с которыми мы имели дело до сих пор, называются положительными, потому что получаются от операции сложения. Помните, ничего плюс один — это один, один плюс один — это два и так далее.
Когда мы говорим «5», это на самом деле 0 плюс 5 единиц или сразу 0 плюс 5. У каждого положительного числа есть свой знак плюс. Просто мы его не пишем. По нескольким причинам.
Во-первых, запись «к положительному числу 3 прибавить положительное число 7 равно положительное число 10» очень громоздкая. Здесь я снова применил скобки, чтобы отделить знак операции сложения от знака числа.
Во-вторых, отрицательные числа люди начали использовать намного позже, чем положительные, поэтому изначально указывать знак положительного числа не имело никакого смысла.
В-третьих, область применения положительных чисел значительно больше, чем отрицательных. Об этом поговорим чуть позже.
А как получаются отрицательные числа? Ну, если положительные — это прибавление к нулю, то противоположность — это вычитание из нуля.
Ноль минус единица — это минус один, ноль минус два или ноль минус две единицы — это минус два, и так далее. Ничего сложного.
Вы спросите, как такое возможно? Да запросто. Вы много раз такое делали. Когда вы говорите «это было вчера», вы от сегодняшнего дня отнимаете один день, позавчера — два дня и так далее. Любая прошлая дата относительно сегодняшнего дня определяется вычитанием количества прошедших дней.
Или температура. За точку отсчета приняли температуру, при которой начинает таять снег. Если температура теплее точки отсчета, мы говорим «плюс 10» или сколько там будет на улице, а если холодней, чем температура таяния снега, говорим «минус 15».
Отрицательные числа используются тогда, когда необходимо количественно описать явления, которые имеют два варианта развития. Например, движение вверх-вниз, вправо-влево, вперед-назад. Мы выбираем нейтральную позицию, от которой будем осуществлять отсчет. Определяем, какое движение будет положительным. Его будем считать положительными числами. А противоположное ему движение будем подсчитывать с помощью отрицательных чисел.
Есть еще один важный повод для использования отрицательных чисел. Это обратный счет и начало прямого счета. Объясню. Когда мы учимся считать, то считаем от нуля до бесконечности. Один, два и так далее. Верхнего предела для счета нет. А нижний есть. Мы стартуем от нуля.
Так и с обратным счетом. Можно выбрать любую точку старта, даже самую большую. Но все равно мы затормозим на нуле. 100, 99, 98 и так далее, а закончим нулем. Если нет отрицательных чисел, дальше двигаться некуда. А если есть, тогда мы продолжаем обратный отсчет: 1, 0, -1, -2 и так далее до минус бесконечности.
И прямой счет может стартовать не от нуля, а от любого отрицательного числа, -50, -49 и так далее, снова до плюс бесконечности.
Видите, как только появляются отрицательные числа, так сразу и операция вычитания не имеет никаких препятствий, и прямой счет с обратным тоже становятся ничем не ограниченными.
Как в свое время мы отказались от счетных палочек, так и сейчас давайте забудем конкретную реализацию отрицательных чисел. А будем их рассматривать просто как числа со знаком минус, которые противоположны положительным числам со знаком плюс. При этом одну, самую удобную демонстрацию отрицательных чисел мы сохраним. Я говорю о числовой оси. С ее помощью мы разберем свойства отрицательных чисел и правила их использования в математических операциях.
Но это будет уже в другой статье. Удачи вам. Дерзайте.