Продолжим разговор об отрицательных числах. Предыдущие части можно найти по ссылкам:
Полный перечень всех статей, опубликованных на канале: «Перечень статей на канале».
Материал, изложенный в этой статье, содержится в видео «Отрицательные числа. Часть 2».
Очень удобный инструмент для изучения отрицательных чисел — это числовая ось. Что это такое? Это некая абстракция, т. е. выдуманный объект, которого в реальной жизни нет, но который позволяет работать с числами.
Нарисуем прямую линию, стрелочкой обозначим положительное направление оси, обычно это вправо. Выбираем точку отсчета, границу между отрицательными числами и положительными. Пограничник — число ноль.
Это число не положительное и не отрицательное. Оно нейтральное, оно на границе. В ту сторону, куда указывает стрелочка, будем откладывать положительные числа. В обратную сторону — отрицательные.
Выбираем масштаб. Скажем, одна единица — это вот такой отрезок. В зависимости от экрана, который используется для чтения этой статьи, выбранный отрезок может иметь разную длину в миллиметрах. Или, если вы увеличите масштаб изображения, длина отрезка тоже увеличится, но всё это неважно. Потому что для каждой единицы на числовой оси я указываю одинаковый уже выбранный отрезок.
Размер экрана конечен, у меня уместилось 11 единиц вправо от ноля и 11 единиц влево. Но мы считаем, что ось продолжается бесконечно далеко как вправо, так и влево, и каждому числу найдется свое место. То, что я указал только целые числа, не должно вводить вас в заблуждение.
Например, пять вторых или две с половиной или две целых пять десятых располагаются на своем месте, ровно посредине между двойкой и тройкой.
Или десять целых семь десятых тоже найдут свое место. На то она и числовая ось, что на ней можно указать место для любого числа, которое может быть представлено в виде простой дроби.
Заметьте, я не ставлю знак плюс у положительных чисел. Это подразумевается само собой. В статье «Отрицательные числа. Введение» я говорил, что целые отрицательные числа получаются вычитанием единиц из нуля. Поэтому самое первое целое число слева от нуля — это минус один, затем минус два, минус три и так далее до минус бесконечности. Получилось, что отрицательные числа — это зеркальное отражение чисел положительных.
И как всякое зеркало обманывает нас, показывая правое плечо на месте левого и наоборот, так и отрицательные числа ведут себя немного иначе, чем положительные. Чуть позже вы это увидите.
Чтобы было удобнее работать с числовой осью, давайте представим себе длиннющую канатную дорогу, которая уходит от нас очень далеко влево и очень далеко вправо. А мы перемещаемся в подвесной кабинке по натянутому тросу. Можем двигаться влево, можем вправо.
Всё, что нам нужно, это задать начальное положение кабинки, расстояние, на которое мы хотим продвинуться, и направление движения.
Вправо будем считать положительным направлением, влево отрицательным.
Ну а расстояние и точку старта будем указывать с помощью чисел.
Теперь очень наглядно можно проиллюстрировать любую операцию сложения и вычитания. Только не забывайте перед выбором направления движения раскрыть скобки и правильно определить знак.
Пример, нам надо посчитать два плюс семь. Стартуем в точке 2 и откладываем 7 единичных отрезков вправо, ведь плюс — это вправо, мы оказались в точке 9. Действительно, два плюс семь равно девять.
Вычтем из девяти пятнадцать. Минус — это движение влево. Пятнадцать единиц влево — это точка минус шесть. Естественно, ведь девять минус пятнадцать равно минус шесть.
Вычтем из минус шесть число три. Снова движемся влево, на этот раз на три единицы. Ответ: минус девять. Минус шесть минус число три равно минус девять.
Правда, здорово, счетные палочки не помогут при работе с отрицательными числами, а числовая ось очень хорошо справляется.
А теперь из минус девять вычтем число минус двенадцать. Раскроем скобки и по правилу знаков, которое мы разбирали в статье «Отрицательные числа. Взаимодействие знаков», получим минус девять плюс двенадцать. Вправо двенадцать единиц, попадаем в точку три. Минус девять минус отрицательное число минус двенадцать равно три.
Мы знаем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Проверим это на числовой оси.
Три плюс пять — это восемь.
Пять плюс три снова восемь.
А если одним из слагаемых будет отрицательное число, а другим — положительное? В этом случае от перемены мест слагаемых результат тоже не меняется.
Восемь минус одиннадцать равно минус три.
К числу минус одиннадцать прибавить восемь, снова получаем минус три. Почему так? Вспоминаем правила знаков.
Выражение 8 - 11 можно записать как 8 + (-11), то есть не из восьми вычесть одиннадцать, а к восьми прибавить число минус одиннадцать. Но в таком случае мы можем менять слагаемые местами без всякого ущерба для результата.
А вот если мы хотим из числа минус три вычесть число минус пять, сначала надо раскрыть скобки и уже потом менять местами минус три и положительное число пять. Действительно, сумма отрицательного числа минус три и положительного числа пять — это то же самое, что сумма положительного числа пять и отрицательного числа минус три. И в том, и в другом случае результат — положительное число два.
А если бы мы просто поменяли местами уменьшаемое отрицательное число минус три и вычитаемое отрицательное число минус пять, то, естественно, получили бы другой результат, а именно число минус два. Потому что от перестановки местами уменьшаемого и вычитаемого результат выражения изменяется.
Попробуем из трех вычесть девять целых девятнадцать сотых. Двигаемся влево на девять единиц и еще на девятнадцать сотых. Попадаем в точку, которая соответствует положению отрицательного числа -6,19.
Ну вот и подоспело обещанное мною зеркальное отличие. Число -6,19 находится слева от -6, а число 6,19 находится справа от 6.
Почему так? Потому что -6,19 меньше, чем -6, а 6,19 больше, чем 6. Как такое возможно, поговорим в следующий раз. А еще узнаем про модуль числа, про умножение и деление отрицательных чисел.
Удачи вам. Дерзайте.
