Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Большинство из Вас, конечно, знакомы с таим популярным математическим понятием, как непрерывность. Обычно о нем говоря в контексте непрерывных функций, и дают соответствующие определения:
интуитивное - когда функция считается непрерывной, если не претерпевает мгновенных скачков (разрывов), и малые изменения аргумента приводят к таким же малым изменениям функции;
строгое - через понятие предела или на великом и ужасном языке "эпсилон-дельта".
Однако сегодня я хочу дать еще более общее понятие непрерывности. Оно будет основываться на том, что функция - это отображение между некоторыми множествами (областью определения и областью значений). На почти запредельном уровне абстракции мы перейдем в область топологических пространств, а значит непрерывность определим исключительно через основное понятия топологии - открытые множества.
У нас не будет расстояний: это понятие избыточно.
Пусть X,Y - топологические пространства произвольной природы. Между ними, как и между множествами, можно определить процедуру отображения - при котором элементы топологических пространств сопоставляются друг другу.
Отображение вправо - называется прямым, а влево - обратным.
Как мы помним, в структуре топологического пространства есть такие замечательные элементы, как открытые множества. Попробуем поработать с ними:
Пусть точка х содержится в некоторой своей окрестности, которая, в отсутствии понятия "расстояние", определяется как любое открытое множество, содержащее точку х.
Прямое отображение f таково, что переводит эту окрестность U(x) в некоторую окрестность U(x') - такое же открытое множество. Возьмем любую другую окрестность точки х', например, U1(x'). Если обратное отображение таково, что образом (т.е. конечным результатом ) этой окрестности так же является некая окрестность (читай, открытое множество), такое отображение является непрерывным.
На самом деле точка здесь определена т.н. непрерывность в точке. Но понятно, что можно распространить понятие на всё пространство.
Обычно, это формулируют лаконично следующим образом:
- Отображение является непрерывным, если прообраз каждого открытого множеств открыт (в нашем случае слово открытое множество можно с успехом заменить на окрестность).
И это максимально общее определение (если не лезть в теорию категорий, конечно). Дальше мы можем наделить наши топологические пространства метрикой, тогда мы сможем работать с "шарами", определять их радиусы, а значит и приблизиться к классическим определениями непрерывности из математического анализа.
Непрерывные отображения являются составляющей важнейшего понятия ВСЕЙ топологии - гомеоморфизма - выступающего в качестве основного критерия, по которому можно отличить одни пространств от других. Впрочем, это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас!