Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Когда-то я писал о доказательстве, которое можно назвать одним из самых значимых успехов античной математики и геометрии, - доказательстве иррациональности числа √2.
В том материале приводились чисто алгебраические аргументы, а сегодня я покажу не менее красивое геометрическое доказательство, которое приписывают Евклиду! Итак, поехали!
Как бы это не звучало, для этого нам понадобится квадрат с диагональю:
Отложим на диагонали квадрата его сторону и восстановим перпендикуляр к точке пересечения:
Рассмотрим треугольники АB'B, B'DB и В'CD:
Теперь продолжим, построив новый квадрат и проведя для него абсолютно аналогичные манипуляции:
Понятно, что аналогичные рассуждения относительно треугольников можно проводить и дальше, получая все меньшие и меньшие кусочки:
Предположим, что сторона и диагональ нашего квадрата соизмеримы, тогда существует некоторый отрезок E, который укладывается в них без остатка. Из арифметики известно, что если два числа делятся на другое, то и их разность также сохраняет это свойство.
Мы получаем бесконечную последовательность уменьшающихся отрезков, длины которых кратны некоторому E. Например, CD больше E в n раз, CD' в n-1 раз, СD'' в n-2 и т.д. Однако мы точно уверены, что натуральные числа в ряду (n, n-1, n-2,...) рано или поздно закончатся!
Это мы знаем благодаря тому, что натуральные числа являются вполне упорядоченным множеством, т.е имеют наименьший элемент
А отрезки, судя по построению, не закончатся никогда! Таким образом, мы приходим к противоречию, которое позволяет нам утверждать, что длина (1) и диагональ единичного квадрата (√2) несоизмеримы.