Данная задача относится к олимпиадным. Попробуйте решить сами, ну а кто хочет посмотреть решение читаем до конца!)))
Многие ученики, учителя решили бы эту задачу, комбинируя эти тригонометрические тождества:
- sin²(θ) + cos²(θ) = 1
- Sin(θ) = cos(90 ° - θ)
А также, используя знания тригонометрии прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.
Способ, которым большинство старшеклассников впервые знакомятся с sin(θ), заключается в использовании прямоугольного треугольника как отношения противоположной стороны к гипотенузе. Масштабирование треугольника вверх или вниз не меняет коэффициент синуса. Итак, если мы масштабируем треугольник, чтобы получить длину гипотенузы 1, синус угла равен длине противоположной стороны.
Используя приведенный выше треугольник, если мы понимаем теорему Пифагора a² + b² = c², мы можем понять, почему sin² (30°) + sin²(60°) = 1. Та же логика может быть применена к любой паре дополнительных углов. (углы, которые в сумме дают 90°), например, sin²(1°) + sin²(89°) = 1 и т.д.
Конечно, учащимся может понадобиться объяснение того, что sin²(30°) на самом деле означает (sin(30°))², т.е. sin²(30°) = sin(30°) × sin(30°).
Возвращаясь к исходной сумме, мы можем сгруппировать члены в пары, сумма которых равна 1:
sin²(1°) + sin²(2°) + sin²(3°) + … + sin²(90°)
= (sin²(1°) + sin²(89°))
+ (sin²(2°) + sin²(88°)) +
…
+ (sin²(44°) + sin²(46°))
+ sin²(45°) + sin²(90°)
= 1+1 + … + 1+ sin²(45°) + sin²(90°)
= 44+ sin²(45°) + sin²(90°)
Теперь нам просто нужно оценить оставшиеся члены: sin²(45°) и sin²(90°).
Как описано выше, sin(45°) будет равен длине стороны, противоположной углу 45° в прямоугольном треугольнике. Поскольку этот треугольник должен иметь два угла по 45°, он должен быть равнобедренным.
Тогда мы можем снова применить теорему Пифагора:
х² + х² =1
2 х ² = 1
х ² = 0,5
sin²(45°) = 0,5
Теперь о sin²(90°). Но мы можем видеть, что по мере того, как θ приближается к 90°, противоположная сторона и гипотенуза становятся все ближе и ближе по длине.
Но технически нам нужно более полное определение синуса , чтобы знать, что sin(90°) на самом деле равен 1, поэтому sin²(90°) = 1.
Теперь, возвращаясь к нашей сумме, мы имеем:
sin²(1°) + sin²(2°) + sin²(3°) + … + sin²(90°)
= 44+ sin²(45°) + sin²(90°)
= 44 + 0.5 + 1
= 45.5
Спасибо, что прочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишетесь на мой блог!
