Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам об утверждении в теории чисел, которое является очевиднейшим примером того, что в математике нельзя полностью полагаться на интуицию или грубую силу, особенно когда речь идёт об утверждениях, связанных с большими числами или, того хуже, с бесконечностью.
Дьёрдь Пойа - венгерский математик, известный своими трудами в области теории чисел, комбинаторики и функционального анализа. В 1919 году он сделал одно предположение, связанное с особенностями разложения чисел на простые множители.
Для удобства формулировки необходимо ввести т.н. функцию Луивилля, которая принимает значение 1, если у числа чётное количество простых множителей с учётом кратности, и -1 в противном случае.
Гипотеза утверждает, что не меньше половины натуральных чисел, меньших любого заранее фиксированного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей. Давайте покажу на пальцах.
Для каждого из чисел черным цветом указано значение функции Луивилля. Теперь начинаем последовательно вычислять сумму этих значений:
Таким образом, гипотеза Пойи утверждает, что данная сумма всегда меньше или равна нулю. Это действительно похоже на правду, если посмотреть на динамику:
И еще очень-очень долго ситуация не меняется. Однако на подходе к миллиарду мы видим удивительную картину:
Сумма значений резко подскакивает вверх на почти всем интервале от 906 150 257 до 906 488 079, а затем опять погружается ниже нуля! Следующий переход через ноль возникнет на числе 351105000000000, где кумулятивная функция Луивилля будет равняться 45002.
Гипотеза в целом считалась верной в течение почти 40 лет, до 1958 года, когда C. B. Хазелгроув доказал, что L(n) > 0 для бесконечно многих n. В 1962 году Р. С. Леман обнаружил, что L(906180359) = 1, а в 1980 году М. Танака обнаружил, что наименьший контрпример гипотезы Пойа возникает при n = 906150257.
Интересно, что Р.С. Леман, опирался на достоверность до сих пор не решенной задачи тысячелетия - гипотезы Римана - для оценки ближайшего интервала, в котором кумулятивная функция Луивилля должна менять знак, а затем уже непосредственными вычислениями нашел контрпример! Спасибо за внимание!