Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлой статье я рассказывал Вам о математических кварках - бинарных отношениях, которые называются рефлексивность, симметричность и транзитивность. Сегодня пришло время сконструировать из них структуру, лежащую в основе порядка - т.н. предпорядок или квазипорядок.
Итак, предпорядок - это одновременно рефлексивное и транзитивное соотношение.
Если из суждения А следует суждение B, а из суждения B следует суждение С, то из суждения А следует суждение С. Так же можно сказать, что из любого суждения следует оно же. Таким образом, мы закрываем транзитивность и рефлексивность, хотя, согласитесь, пример достаточно искусственный и следует из самого определения бинарных соотношений. Давайте к более интересному.
Выше мы записали результаты целочисленного деления 0 и первых натуральных чисел на 3. Давайте изобразим данные в виде схемы:
Теперь мы увидим на этом множестве предпорядок, взяв в качестве бинарного отношения результат целочисленного деления на 3:
Почему то, что мы изобразили - это еще всего лишь предпорядок? Забегая вперед, приставка "пред-" происходит от идеи, что предпорядки не обязательно обладают свойствами антисимметричности или симметричности, как более упорядоченные структуры, о которых мы будем говорить позже.
В обычной жизни отношение экономического предпочтения по цене или качеству - так же является предпорядком. В математике, информатике и теории алгоритмов значения предпорядков невозможно недооценивать.
Именно на основе него, например, Пол Коэн разработал метод форсирования, с помощью которого удалось доказать независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории множеств Цермело–Френкеля.
- В следующем материале мы получим из предпорядка сразу два уникальных соотношения - об одном из которых я уже рассказывал на своем канале. Подписывайтесь! Спасибо за внимание!